Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp[PQR] và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán
Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh [hoặc phần kéo dài] BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\[{{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\]
Lời giải chi tiết
Trong [ABC], gọi {I} = PR AC
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {PQR} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = PR\\
\left[ {ABC} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = AC\\
\left[ {PQR} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = Qt\\
AC \cap PR = I
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in Qt
\end{array}\]
Trong mp[ACD] gọi {S} = QI AD
Thì {S} = AD [PQR]
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có
\[{{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \]\[\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\]
\[ \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\] C là trung điểm của AI.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :
\[{{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \]
\[\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left[ {dpcm} \right]\]