Đề bài - bài 11 trang 191 sgk đại số và giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo [z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định]?

\[{z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2}\]; \[{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left[ {\overline z } \right]}^3}}}\]; \[{{{z^2} - {{\left[ {\overline z } \right]}^2}} \over {1 + z\overline z }}\]

Lời giải chi tiết

* Ta có:

\[\overline {{z^2} + {{\left[ {\overline z } \right]}^2}} \\= \overline {{z^2}} + \overline {{{\left[ {\overline z } \right]}^2}} \\= {\left[ {\overline z } \right]^2} + {\left[ {\overline {\overline z } } \right]^2} \\= {\left[ {\overline z } \right]^2} + {z^2}\]

\[ \Rightarrow {z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2}\] là số thực.

Cách khác: Gọi \[z=a+bi\]

Ta có: \[{z^2} + {\overline z ^2} = {\left[ {a + bi} \right]^2} + {\left[ {a - bi} \right]^2} \] \[ = {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \] \[= 2{a^2} - 2{b^2}\]

\[= 2\left[ {{a^2} - {b^2}} \right]\] là số thực

* \[\overline {\left[ {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left[ {\overline z } \right]}^3}}}} \right]} \] \[= \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left[ {\overline z } \right]}^3}} }}\] \[ = \frac{{\overline z - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}} + \overline {{{\left[ {\overline z } \right]}^3}} }} \] \[= \frac{{\overline z - z}}{{{{\left[ {\overline z } \right]}^3} + {{\left[ {\overline {\overline z } } \right]}^3}}} \] \[= - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left[ {\overline z } \right]}^3} + {z^3}}}\]

\[\Rightarrow{{z - \overline z } \over {{z^3} + {[{\overline z }]^3}}}\]là số ảo.

* \[\overline {\left[ {{{{z^2} - {{\left[ {\overline z } \right]}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right]} \] \[= {{{[{\overline z }]^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} \] \[= - {{{z^2}-{[{\overline z }]^2}} \over {1 + \overline z .z}} \]

\[\Rightarrow {{{z^2} - {{\left[ {\overline z } \right]}^2}} \over {1 + z\overline z }}\]là số ảo.

Cách khác: