Đề bài
Hình 5.6 thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo [C] là đồ thị của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] , trong đó \[f\left[ x \right] = - 1 - {1 \over x},\left[ {x > 0} \right].\] Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc [C] sẽ bay theo phương tiếp tuyến của [C] tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc [C] sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ [1 ; 0], [2 ; 0], [3 ; 0] và [4 ; 0] [làm tròn kết quả đến hàng phần vạn]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[f'\left[ x \right] = {1 \over {{x^2}}}\]
Phương trình tiếp tuyến [d] của quỹ đạo [C] tại tiếp điểm \[{M_0}\left[ {{x_0}; - 1 - {1 \over {{x_0}}}} \right]\] là :
\[\eqalign{ & y = {1 \over {x_0^2}}\left[ {x - {x_0}} \right] - 1 - {1 \over {{x_0}}} \cr & hay\,x_0^2 + 2{x_0} - x + x_0^2y = 0 \cr} \]
Ta phải tìm x0> 0, sao cho [d] lần lượt đi qua 4 điểm có tọa độ [1 ; 0], [2 ; 0], [3 ; 0] và [4 ; 0].
a. Với x = 1, y = 0, ta có \[x_0^2 + 2{x_0} - 1 = 0.\]
Suy ra \[{x_0} = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,4142\]
b. Với x = 2, y = 0, ta có \[x_0^2 + 2{x_0} - 2 = 0.\]
Suy ra \[{x_0} = - 1 + \sqrt 3 \approx 0,7321\]
c. Với x = 3, y = 0, ta có \[x_0^2 + 2{x_0} - 3 = 0.\]
Suy ra \[{x_0} = 1\]
d. Với x = 4, y = 0, ta có \[x_0^2 + 2{x_0} - 4 = 0.\]
Suy ra \[{x_0} = - 1 + \sqrt 5 \approx 1,2361\]