Đề bài
a] Chứng minh rằng nếu một tam giác đều có cạnh bằng a thì diện tích bằng \[{{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\] .
b] Tính diện tích của lục giác đều có cạnh bằng a.
Lời giải chi tiết
a] Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC
\[\Delta ABC\] đều \[ \Rightarrow AH\] là đường trung tuyến
\[ \Rightarrow H\] là trung điểm của BC \[ \Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = {a \over 2}\]
\[\Delta ABH\] vuông tại H có \[A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\] [định lí Pytago]
\[ \Rightarrow A{H^2} + {{{a^2}} \over 4} = {a^2} \Rightarrow A{H^2} = {{3{a^2}} \over 4} \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
b]
Gọi O là tâm của lục giác đều
Ta có: \[{S_{ABCDEF}} = {S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OCD}} + {S_{ODE}} + {S_{OEF}} + {S_{OAF}}\]
\[{S_{OAB}} = {S_{OBC}} = {S_{OCD}} = {S_{ODE}} = {S_{OEF}} = {S_{OAF}}\]
[vì \[\Delta OAB = \Delta OBC = \Delta OCD = \Delta ODE = \Delta OEF = \Delta OAF\]]
\[ \Rightarrow {S_{ABCDEF}} = 6{S_{OAB}}\]
Mà \[\Delta OAB\] đều có cạnh bằng a, nên ta có \[{S_{OAB}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
Do đó \[{S_{ABCDEF}} = 6.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\].