Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [ AB > AC] có AD là đường trung tuyến. E là trung điểm của AC, F là điểm đối xứng của A qua D. G là điểm đối xứng của B qua E.
a] Chứng minh rằng \[DE \bot AC\] .
b] Chứng minh tứ giác ABFC là hình chữ nhật.
c] Đường thẳng qua C song song với AD cắt DE ở H. Chứng minh rằng tứ giác ADCH là hình thoi.
Lời giải chi tiết
a] D, E lần lượt là trung điểm của BC và AC [gt]
\[ \Rightarrow DE\] là đường trung bình của tam giác ABC \[ \Rightarrow DE//AB\]
Mà \[AB \bot AC\,\,[\Delta ABC\] vuông tại A] nên \[DE \bot AC\].
b] Tứ giác ABFC có:
BC cắt AF tại D [gt];
D là trung điểm của BC [AD là đường trung tuyến của tam giác ABC]
D là trung điểm của AF [F đối xứng với A qua D]
Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.
Mà \[\widehat {BAC} = {90^0}\,\,[\Delta ABC\] vuông tại A] nên ABFC là hình chữ nhật.
c] Tứ giác ABCG có AC và BG cắt nhau tại E [gt];
E là trung điểm của AC [gt];
E là trung điểm của BG [G đối xứng với B qua E]
Do đó tứ giác ABCG là hình bình hành nên CG // AB
Mà CF // AB [ABFC là hình bình hành]
Do đó CG, CF trùng nhau [Tiên đề Ơ-clit]
Nên G, C, F thẳng hàng \[ \Rightarrow C \in FG\].
\[\Delta BGF\] có EC // BF [AC // BF, \[E \in AC\]] và E là trung điểm của BG
\[ \Rightarrow C\] là trung điểm của FG.
d] \[\Delta ABC\] vuông tại A có AD là đường trung tuyến [gt] \[ \Rightarrow AD = DC = {{BC} \over 2}\]
Tứ giác ADCH có AD // CH [gt] và CD // AH [ABCH là hình bình hành]
Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành.
Mà \[AD = DC\] nên tứ giác ADCH là hình thoi.