Đề bài
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụngdấu hiệu nhận biết hình thoi:Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Xét hình chữ nhật \[ABCD\] có \[E,F,G,H\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,CD,DA\]
Xét\[AEH\] và\[BEF\] có:
\[AE = BE \] [vì \[E\] là trung điểm \[AB\]]
\[\widehat A = \widehat B = {90^0}\]
\[AH = BF\] [vì \[AH= \dfrac{1}{2}AD \]; \[BF= \dfrac{1}{2}BC\]; \[AD=BC\] ]
Do đó\[AEH=BEF\] [c.g.c], suy ra \[EH = EF \] [2 cạnh tương ứng]
Chứng minh tương tự ta có: \[EF=GF, GF=GH\].
Tứ giác \[EFGH\] có \[EH = EF=GF=GH\] nên là hình thoi [theo định nghĩa].
Chú ý:
Xét\[HDG\] và\[FCG\] có:
\[H{\rm{D}} = FC\left[ {cmt} \right]\][vì \[HD = \dfrac{1}{2}AD \]; \[FC= \dfrac{1}{2}BC\]; \[AD=BC\] ]
\[\widehat D = \widehat C = {90^0}\]
\[DG = CG\][vì \[G\] là trung điểm \[DC\]]
\[ \Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \] \[GH = GF \] [2 cạnh tương ứng]
Xét\[AHE\] và\[DHG\] có:
\[H{\rm{A}} = HD\][vì \[H\] là trung điểm \[AD\]]
\[\widehat A = \widehat D = {90^0}\]
\[AE = DG\][vì \[AE = \dfrac{1}{2}AB \]; \[DG= \dfrac{1}{2}DC\]; \[AB=DC\] ]
\[\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \] \[EH = GH \] [2 cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow HE=EF = GH = GF\].