Đề bài
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \[[\alpha ]\] trong các trường hợp sau
a] \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\] và \[[\alpha ]\] : x + 2y + z - 3 = 0
b] d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\] và \[[\alpha ]\]: x + z + 5 = 0
c] \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\] và \[[\alpha ]\] : x +y + z -6 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thay \[x,y,z\] trong phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, kiểm tra nghiệm.
- Phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng cắt mặt phẳng.
- Phương trình vô nghiệm thì đường thẳng song song mặt phẳng.
- Phương trình vô số nghiệm thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a] Thay \[x, y, z\] trong phương trình tham số của đường thẳng \[d\] vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \[[\alpha ]\] ta được: \[t + 2\left[ {1 + 2t} \right] + \left[ {1 - t} \right] - 3 = 0\] \[ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0\]
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \[[\alpha ]\] tại M0[0; 1; 1].
b] Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \[[\alpha ]\] ta được: \[\left[ {2 - t} \right]\; + \left[ {2 + t} \right] + 5 = 0\]\[ \Leftrightarrow 0t = - 9\]
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \[[\alpha ]\]
c] Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \[[\alpha ]\] ta được: \[\left[ {3 - t} \right] + \left[ {2 - t} \right] + \left[ {1 + 2t} \right] - 6 = 0\] \[ \Leftrightarrow 0t\; = 0\]
Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t.
Vậy \[d\] nằm trong \[[\alpha ]\].