- LG a
- LG b
- LG c
Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
LG a
\[\displaystyle {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\] với \[\displaystyle 0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\] và \[\displaystyle {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\] với \[\displaystyle \pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\]
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle x + \sin x = x \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\]
Khi đó \[\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^\pi {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^\pi {\sin xdx} = - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \] \[\displaystyle = - \cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2\]
\[\displaystyle {S_2} = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left[ { - \sin x} \right]dx} = \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\] \[\displaystyle = \cos 2\pi - \cos \pi = 1 + 1 = 2\]
Do đó \[\displaystyle {S_1} = {S_2}\].
LG b
\[\displaystyle \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\] với \[\displaystyle 0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\] và \[\displaystyle {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\] với \[\displaystyle 0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\];
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
\[\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x} \right|dx} = \int\limits_0^\pi {\sin xdx} \] \[\displaystyle = - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \]\[\displaystyle = - \cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2\]
\[\displaystyle {S_2} = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx} \] \[\displaystyle = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \]
\[\displaystyle = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \sin \pi + \sin \frac{\pi }{2}\] \[\displaystyle = 1 - 0 - 0 + 1 = 2\]
Do đó \[\displaystyle {S_1} = {S_2}\].
LG c
\[\displaystyle {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\] và \[\displaystyle {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\]
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle \sqrt x = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = {x^4}\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\left[ {{x^3} - 1} \right] = 0\end{array} \right.\] \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Khi đó \[\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx} \] \[\displaystyle = \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt x - {x^2}} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle = \left| {\left. {\left[ {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\]
\[\displaystyle \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - x\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - {x^2} = {\left[ {1 - x} \right]^2}\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\1 - {x^2} = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 2x = 0\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Khi đó \[\displaystyle {S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}} - \left[ {1 - x} \right]} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}} - 1 + x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt {1 - {x^2}} - 1 + x} \right]dx} } \right|\]
\[\displaystyle = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} - \int\limits_0^1 {dx} + \int\limits_0^1 {xdx} } \right|\] \[\displaystyle = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} - 1 + \frac{1}{2}} \right|\] \[\displaystyle = \left| {I - \frac{1}{2}} \right|\]
Tính \[\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \].
Đặt \[\displaystyle x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\] \[\displaystyle \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} \]
\[\displaystyle = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 + \cos 2t} \right]dt} \] \[\displaystyle = \frac{1}{2}\left. {\left[ {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\] \[\displaystyle = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\]
Do đó \[\displaystyle {S_1} \ne {S_2}\].