Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \[[\beta ]\]: \[x + 3ky z + 2 = 0\] và \[[\gamma ]\] : \[kx y + z + 1 = 0\]. Tìm \[k\] để giao tuyến của \[[\beta ]\] và \[[\gamma ]\] vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha ]\]: x y 2z + 5 = 0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm VTCP của đường thẳng giao tuyến \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\].
- Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì \[\overrightarrow a \] cùng phương \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \].
Lời giải chi tiết
Ta có \[\overrightarrow {{n_\beta }} = [1;3k; - 1]\] và \[\overrightarrow {{n_\gamma }} = [k; - 1;1]\]. Gọi \[d = [\beta ] \cap [\gamma ]\]
Đường thẳng \[d\] vuông góc với giá của \[\overrightarrow {{n_\beta }} \] và \[\overrightarrow {{n_\gamma }} \] nên có vecto chỉ phương là:
\[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\]\[ = \left[ {3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2}} \right]\]
Ta có: \[d \bot [\alpha ]\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3k - 1}}{1} = \dfrac{{ - k - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 - 3{k^2}}}{{ - 2}}\] \[ \Leftrightarrow k = 1\]