Đề bài
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm
B. Nếu \[[u_n]\] là dãy số tăng thì \[\lim u_n= + \]
C. Nếu \[\lim u_n= + \] và \[\lim v_n= + \] thì \[\lim [u_n v_n] = 0\]
D. Nếu \[u_n= a^n\] và \[-1< a < 0\] thì \[\lim u_n=0\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đúng sai của từng đáp án.
Lời giải chi tiết
+] Câu A sai
Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm là mệnh đề sai.
Xét phần ví dụ sau:
Dãy số: \[{u_n} = {{{{[-1]}^n}} \over n}\] có \[\lim {{{{[ - 1]}^n}} \over n} = 0\]
Ta có: \[{u_1} = - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} = - {1 \over 3}\]
\[ \] Dãy số \[u_n\] không tăng cũng không giảm.
+] Câu B sai
Nếu \[[u_n]\] là dãy số tăng thì \[\lim[u_n] = + \] là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số \[[u_n]\] với \[{u_n} = 1 - {1 \over n}\]
Xét hiệu: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = [1 - {1 \over {n + 1}}] - [1 - {1 \over n}] \] \[= {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \] \[= {1 \over {n[n + 1]}} > 0\]
\[ [u_n]\] là dãy số tăng.
\[{{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim [1 - {1 \over n}] = 1\]
+] Câu C sai, xem phần ví dụ sau:
Hai dãy số \[{u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\]
+ \[{{\mathop{\rm \lim u}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}[{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}]}} \] \[= \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n^2}}}} = + \infty \]
+ \[\lim {v_n} = \lim [n + 1] = + \infty \]
+ Nhưng :
\[\eqalign{
& \lim [{u_n} - {v_n}] = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - [n + 1]} \right]\cr& = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}} = \lim {{n[ - 3 - {2 \over n}]} \over {n[1 + {2 \over n}]}}\cr& = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0 \cr} \]
+] Câu D đúng vì \[\lim q^n= 0\] khi \[|q|