Bài tập trắc nghiệm bất đẳng thức Cosi
|
Câu 1. Với hai số x, y dương thỏa xy = 36, bất đẳng thức sau đây đúng? A. \(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 12\) . B. \(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 72\) . C. \({\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} > xy = 36\) . D. \(x + y \ge 2xy = 72\) . Câu 2. Với hai số x, y dương thoả xy = 36. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. \(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 12.\) B. \({x^2} + {y^2} \ge 2xy = 72.\) C. \({\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy = 36.\) D. Tất cả đều đúng. Câu 3. Cho a, b, c > 0. Xét các bất đẳng thức sau I) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) ; II) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3\) ; III) \(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\) Chọn khẳng định đúng. A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ III) đúng. D. Cả I), II), III) đúng. Câu 4. Cho x, y, z > 0. Xét các bất đẳng thức sau I) \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\) ; II) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{9}{{x + y + z}}\) ; III) \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\) Chọn khẳng định đúng. A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ I) và III) đúng. C. Cả I), II), III) đúng. D. Chỉ III) đúng. Câu 5. Cho a, b, c > 0. Xét các bất đẳng thức sau I) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) ; II) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3\) ; III) \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\) Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ III) đúng. D. Cả I), II), III) đúng. Câu 6. Cho a, b, c > 0. Xét các bất đẳng thức I) \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) ; II) \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\) ; III) \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 9\). Bất đẳng thức nào đúng A. Chỉ I) và II) đúng. B. Chỉ I) và III) đúng. C. Chỉ I) đúng. D. Cả I), II), III) đúng. Câu 7. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Dùng bất đẳng thức Côsi ta chứng minh được\(\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) \ge 64\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào: A. a = b = c B. a = b = c = 1 C. \(a = b = c = \frac{1}{3}.\) D. a = 1, b = c = 0 Câu 8. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 9. Bất đẳng thức \({\left( {m + n} \right)^2} \ge 4mn\) tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? A. \(n{\left( {m - 1} \right)^2} - m{\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0\) . B. \({m^2} + {n^2} \ge 2mn\) . C. \({\left( {m + n} \right)^2} + m - n \ge 0\) . D. \({\left( {m - n} \right)^2} \ge 2mn\) . Câu 10. Với hai số x, y dương thoả thức xy = 36, bất đẳng nào sau đây đúng? A. \(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 12\) . B. \(x + y \ge 2xy = 72\) . C. \(4xy \le {x^2} + {y^2}\) . D. \({\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy = 36\) . {-- xem đầy đủ nội dung Bài tập trắc nghiệm về Bất đẳng thức cô - si Đại số 10 ở phần xem online hoặc tải về --} Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập trắc nghiệm về Bất đẳng thức cô - si Đại số 10 năm học 2019 - 2020. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới. >>> Các em có thể tham khảo thêm : 41 câu trắc nghiệm ôn tập Chương Bất đẳng thức có đáp án chi tiết Tài liệu gồm 147 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển chọn các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm bất đẳng thức và bất phương trình thường gặp trong chương trình Đại số 10 chương 4, các bài toán được phân dạng, có đáp án và lời giải chi tiết. Khái quát nội dung tài liệu các dạng toán trắc nghiệm bất đẳng thức và bất phương trình: Dạng 2. Bất đẳng thức Cosi và ứng dụng. Tài liệu gồm 349 trang tuyển tập các câu hỏi và bài toán trắc nghiệm bất đẳng thức và bất phương trình có lời giải chi tiết trong chương trình Đại số 10 chương 4, các bài toán được đánh số ID và sắp xếp theo từng nội dung bài học: + Bài 1. Bất đẳng thức. + Bài 2. Đại cương về bất phương trình. + Bài 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình. + Bài 4. Dấu của nhị thức bậc nhất. + Bài 5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. + Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai. + Bài 7. Bất phương trình bậc hai. + Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai.
640 câu trắc nghiệm bất đẳng thức bất phương trình có đáp án và lời giải chi tiết được viết dưới dạng file word gồm 108 trang. Bài tập bao gồm các bài học: bất đẳng thức; bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, dấu của nhị thức bậc nhất; bất phương trình bậc nhất hai ẩn; dấu của tam thức bậc hai. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu hỏi 6 : Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (có chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? 
Đáp án: C Phương pháp giải: Nhìn hình vẽ để xác định bất phương trình. Lời giải chi tiết: Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (có chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(1 \le x \le 2\) Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 : Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 4}}\) với \(x > 0\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng BĐT Cô-si đánh giá mẫu thức. Lời giải chi tiết: Áp dụng BĐT Cô-si ta có \({x^2} + 4 \ge 2\sqrt {{x^2}.4} = 4x\) (Do \(x > 0\)) \( \Rightarrow f\left( x \right) \le \dfrac{x}{{4x}} = \dfrac{1}{4}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2\). Vậy \(\max f\left( x \right) = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow M = \dfrac{1}{4}\). Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số \(x,y \ge 0:\,\,x + y \ge 2\sqrt {xy} \). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \dfrac{{{x^2} + 4 + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \sqrt {{x^2} + 4} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\sqrt {{x^2} + 4} ,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) ta có: \(\sqrt {{x^2} + 4} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 4} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} = 2 \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} \Leftrightarrow {x^2} + 4 = 1 \Leftrightarrow {x^2} = - 3\) (Vô lí) Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 : Cho hai số thực dương \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+xy\ge 7\). Giá trị nhỏ nhất của \(S=x+2y\) là: Đáp án: B Phương pháp giải: Nhóm hạng tử, áp dụng bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức Cosi để tìm min Lời giải chi tiết: Từ giả thiết \(x+y+xy\ge 7\Leftrightarrow 2\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)\ge 16.\) Ta có \(16\le 2\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( 2y+2 \right)\le {{\left( \frac{1+x+2y+2}{2} \right)}^{2}}\) \(\Leftrightarrow {{\left( x+2y+3 \right)}^{2}}\ge 64\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x+2y\ge 5 \\ x+2y\le -11 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x+2y\ge 5\) (do \(x,y>0\)). Chọn B Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 : Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right)=\left( 6x+3 \right)\left( 5-2x \right)\) với \(x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right].\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương \(ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}\) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi \(ab\le \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4},\) ta được \(f\left( x \right)=3\left( 2x+1 \right)\left( 5-2x \right)\le 3.\frac{{{\left( 2x+1+5-2x \right)}^{2}}}{4}=27\Rightarrow f\left( x \right)\le 27.\) Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} -\frac{1}{2}\le x\le \frac{5}{2} \\ 2x+1=5-2x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=1.\) Vậy \(M=27.\) Chọn C Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 : Cho \(0\le x\le 5;\,0\le y\le 2\). Giá trị lớn nhất của \(A=\left( x-5 \right)\left( y-2 \right)\left( x+3y \right)\)là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức chuyển từ “trung bình nhân” sang “trung bình cộng”: \(abc\le {{\left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}\) Để làm triệt tiêu được biến thì ta cần nhân thêm hệ số thích hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}A = \left( {x - 5} \right)\left( {3y - 6} \right)\left( {x + 3y} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {5 - x} \right)\left( {6 - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) \le {\left[ {\dfrac{{\left( {5 - x} \right) + \left( {6 - 3y} \right) + \left( {x + 3y} \right)}}{3}} \right]^3}\\3A \le {\left( {\dfrac{{11}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow 3A \le \dfrac{{1331}}{{27}} \Rightarrow \,Max\,A = \dfrac{{1331}}{{81}}\\ \Leftrightarrow 5 - x = 6 - 3y = x + 3y\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 6 - 3y\\5 - x = x + 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = 1\\ - 2x - 3y = - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x = - 4\\ - x + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3}\\y = \dfrac{7}{9}\end{array} \right.\end{array}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 : Cho hai số thực \(a,b\)thỏa mãn điều kiện \(a+b=2\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((a,b)\)và \(\left( x,y \right)\)ta có: \({{\left( a\,x+b\,y \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Ta có: +) \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{1}{2}\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge \frac{1}{2}{{\left( a+b \right)}^{2}}=\frac{1}{2}{{.2}^{2}}=2\). Suy ra mệnh đề đáp án B đúng +) \({{a}^{4}}+{{b}^{4}}=\frac{1}{2}\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left[ {{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}} \right)}^{2}} \right]\ge \frac{1}{2}{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}\ge \frac{1}{2}{{.2}^{2}}=2\). Suy ra mệnh đề đáp án A đúng và mệnh đề đáp án C sai. Chọn C Hiển nhiên mệnh đề D đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 : Cho ba số thực \(x,y,z\)thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=4\). Chứng minh rằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((a,b,c)\)và \(\left( x,y,z \right)\)ta có: \({{\left( a\,x+b\,y+cz \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((x,y,z)\)và \(\left( y,z,x \right)\)ta có: \({{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\) \(\Leftrightarrow {{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\) Theo giả thiết \(xy+yz+zx=4\) nên ta có \({{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\ge 16\) hay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 4\)(*) Với 2 bộ số \((1,1,1)\)và \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}} \right)\)ta có: \({{\left( 1.{{x}^{2}}+1.{{y}^{2}}+1.{{z}^{2}} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} \right)\) Suy ra: \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3}\) Từ (*), suy ra \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{16}{3}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 : Cho 3 số dương \(a,b,c.\) Xét biểu thức\(P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\) . Nhận xét nào sau đây đúng?
Đáp án: A Phương pháp giải: Với \(a,b\)là hai số dương ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\)(*) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) Tương tự ta có : \(\frac{1}{b+c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right);\,\,\frac{1}{a+c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)\) Cộng vế với vế ta có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 : Nếu \(m > 0\) và \(n < 0\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
Đáp án: B Phương pháp giải: Suy luận, kết hợp sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: Từ giả thiết \(m > 0\) và \(n < 0\) suy ra \(m > 0\) và \( - n > 0\). Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng dấu ta có: \(m - n > 0\) hay \(n - m < 0\). Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của \(x\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Suy luận, kết hợp sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: Đáp án A: \(10x > 3x\) chỉ đúng khi \(x > 0\). Loại A Đáp án B: \(10{x^2} > 3{x^2}\) chỉ đúng khi \(x \ne 0\). Loại B Đáp án C: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng \(10 > 3\), cộng hai vế với cùng một số \( - x\) ta được một bất đẳng thức đúng (tính chất cơ bản). Chọn C Đáp án D: \(3 + x > 10 - x \Leftrightarrow 2x > 7 \Leftrightarrow x > {7 \over 2}\). Loại D Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 17 : Nếu \(a > b\) và \(c > d\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
Đáp án: D Phương pháp giải: Suy luận, kết hợp sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: A. \(a - c > b - d\). Không có tính chất trừ vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều. B. \({a \over c} > {b \over d}\) sai trong một số trường hợp. Ví dụ \(a = 4,b = 2,c = 3,d = 1\). C. \(ac > bd\) chỉ đúng khi có \(a > b > 0\) và \(c > d > 0\) D. \(a + c > b + d\) đúng. Vì cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều. (tính chất cơ bản) Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 18 : Với hai số \(x,y\) dương thỏa mãn \(xy = 36\), bất đẳng thức nào sau đây đúng.
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x,y\) ta có : \(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 2.\sqrt {36} = 12\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({x^2},{y^2}\) ta có : \({x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}.{y^2}} = 2|xy| = 2xy = 72\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 19 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = 2x + {1 \over x}\) với \(x > 0\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(2x;{1 \over x}\) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: \(f(x) = 2x + {1 \over x} \ge 2\sqrt {2x.{1 \over x}} = 2\sqrt 2 \). Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 20 : Bất đẳng thức \({(m + n)^2} \ge 4mn\) tương đương với bất đẳng thức nào sau đây.
Đáp án: B Phương pháp giải: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho. Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & {\left( {m + n} \right)^2} \ge 4mn \Leftrightarrow {m^2} + 2mn + {n^2} \ge 4mn \Leftrightarrow {m^2} + 2mn + {n^2} - 4mn \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 2mn + {n^2} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} \ge 2mn \cr} \) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 21 : Cho \(\;a,b,x,y\) là các số không âm. Khi đó, ta có:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng biến đổi tương đương và sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left( {{\rm{ax}} + by} \right)\left( {bx + ay} \right) = ab{x^2} + {a^2}xy + {b^2}xy + ab{y^2} = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)ab + {a^2}xy + {b^2}xy\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \({x^2},{y^2}\) ta có: \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\). Mặt khác, \(a;b\) là các số không âm nên \(ab \ge 0\). Do đó, ta có \(\left( {{x^2} + {y^2}} \right)ab + {a^2}xy + {b^2}xy \ge 2xy.ab + {a^2}xy + {b^2}xy = {\left( {a + b} \right)^2}xy\) Suy ra ta có: \(\left( {{\rm{ax}} + by} \right)\left( {bx + ay} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}xy\). Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 22 : Cho \(a,b,c\) là 3 số không âm có tổng bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(a,b,c\) và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(a + b,b + c,c + a\). Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(a,b,c\) ta có : \(abc \le {\left( {{{a + b + c} \over 3}} \right)^3}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(a + b,b + c,c + a\) ta có : \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le {\left( {{{2a + 2b + 2c} \over 3}} \right)^3}\). Nhân vế với vế ta có \(S = abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le {\left( {{{a + b + c} \over 3}} \right)^3}.{\left( {{{2a + 2b + 2c} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^3} = {{{{1.2}^3}} \over {{3^3}{{.3}^3}}} = {8 \over {729}}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 23 : Với hai số \(x,y\) dương thỏa mãn \(x + y = 12\), bất đẳng thức nào sau đây đúng.
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x,y\) ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow 12 \ge 2.\sqrt {xy} \Leftrightarrow 6 \ge \sqrt {xy} \) Suy ra \(\sqrt {xy} \le 6\), suy ra \(xy \le 36\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 24 : Nếu \(a,b\) và \(c\) là các số bất kì và \(a > b\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
Đáp án: C Phương pháp giải: Suy luận, kết hợp sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: A. \(ac > bc\) chỉ đúng khi có \(c > 0\) B. \({a^2} < {b^2}\) chỉ đúng khi \(0 > a > b\) C. \(a + c > b + c\) đúng. Vì cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số hạng ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều (tính chất cơ bản) D. \(c - a > c - b\) sai. Vì \(a > b\) suy ra \( - a < - b\). Suy ra \(c - a < c - b\). Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 25 : Cho biểu thức \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((a,b)\)và \(\left( x,y \right)\)ta có: \({{\left( a\,x+b\,y \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((1,1)\)và \(\left( \sqrt{x-2},\sqrt{4-x} \right)\)ta có: \({{\left( 1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left[ {{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{2}}\text{+}{{\left( \sqrt{4-x} \right)}^{2}} \right]\) Hay \({{A}^{2}}\le 2\left( x-2+4-x \right)=2.2=4\). Suy ra \(A\le 2\) Dấu “=” xảy ra khi \(x=3\) Mặt khác ta có \({{A}^{2}}=2+2\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 4-x \right)}\ge 2\Rightarrow A\ge \sqrt{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(x=4\) hoặc \(x=2\) Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 26 : Cho 3 số dương \(a,b,c\) có tổng bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức .\(T=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\)với \(a,b\)\(,c\) là hai số dương. Lời giải chi tiết: Với 3 số dương \(a,b,c\) có tổng bằng 1. Áp dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\) Ta có: \(T=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{9}{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)+\left( c+a \right)}=\frac{9}{2\left( a+b+c \right)}\) Vì \(a+b+c=1\)nên \(\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}\). Suy ra \(T\ge \frac{9}{2}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 27 : Cho \(a,b,c\) là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a+b+c\le 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\frac{1}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2ca}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2ab}\) là: Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\)với \(a,b\)\(,c\) là hai số dương. Lời giải chi tiết: Với \(a,b,c\) là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a+b+c\le 1\) Áp dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\) Ta có: \(\frac{1}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2ca}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2ab}\ge \frac{9}{{{a}^{2}}+2bc+{{b}^{2}}+2ca+{{c}^{2}}+2ab}=\frac{9}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\) Vì \(a+b+c\le 1\)nên \(\frac{9}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\ge 9\Rightarrow S\ge 9\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 28 : Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a+b=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\)với \(a,b\)là hai số dương. Lời giải chi tiết: Với hai số thực dương \(a,b\)thỏa mãn \(a+b=1.\)Ta có: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge \frac{4}{a+1+b+1}=\frac{4}{3}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 29 : Nếu \(a + b < a\) và \(b - a > b\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: A Phương pháp giải: Xác định dấu của \(a\) và \(b\) từ đó chọn đáp án đúng. Lời giải chi tiết: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b < a\\b - a > b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\ - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ab > 0\). Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 30 : Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức. Lời giải chi tiết: \({a^2} + {b^2} + ab < 0\,\,\forall a;b \in R\) là sai vì \({a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2a\frac{1}{2}b + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\). Chọn: C Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 31 : Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{2}{x-1}\) với \(x>1.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Tách hạng tử, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm. Lời giải: Lời giải chi tiết: Ta có \(f\left( x \right)=x+\frac{2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right).\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1.\) Dấu \(''\,\,=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} x>1 \\ x-1=\frac{2}{x-1} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}.\) Vậy \(m=2\sqrt{2}+1.\) Chọn B Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 32 : Nếu \(a + 2c > b + 2c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: C Phương pháp giải: \(\left\{ \begin{array}{l}a > b\\c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ac > bc\). Lời giải chi tiết: Theo bài ra ta có \(a + 2c > b + 2c \Leftrightarrow a > b\). \(a > b \Leftrightarrow 2a > 2b \Rightarrow \) Đáp án C đúng. Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 33 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ac < bc;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow ac > bc\) Lời giải chi tiết: Đáp án đúng là \(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ac < bc\) do \(c > 0\) nên không làm thay đổi chiều bất đẳng thức. Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 34 : Nếu \(a > b\) và \(c > d\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
Đáp án: C Phương pháp giải: Suy luận, kết hợp sử dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. Lời giải chi tiết: A. \(ac > bd\) chỉ đúng khi \(a > b > 0\) và \(c > d > 0\). B. \(a - c > b - d\). Không có tính chất trừ vế với vế hai bất đẳng thức cùng dấu thì được một bất đẳng thức cùng dấu. C. \(a - d > b - c\) đúng. Vì sử dụng tính chất cơ bản \(a > b;\,c > d \Rightarrow a + c > b + d\) kết hợp với biến đổi tương đương ta có: \(a - d > b - c\). D. \( - ac > - bd\) chỉ đúng khi \(0 > a > b\) và \(0 > c > d\) Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 35 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + {4 \over {x - 1}}\) trên \((1, + \infty )\) là: Đáp án: B Phương pháp giải: Thêm, bớt để xuất hiện các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x - 1\) và \({4 \over {x - 1}}\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(f(x) = x - 1 + {4 \over {x - 1}} + 1\) Trên \((1, + \infty )\) ta có hai số dương \(x - 1\) và \({4 \over {x - 1}}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: \(\left( {x - 1} \right) + {4 \over {x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).{4 \over {x - 1}}} = 4\). Suy ra \(f\left( x \right) \ge 4 + 1 = 5\). Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 36 : Cho \(\Delta ABC\). Xét biểu thức \(S=\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) và phương pháp ghép đối xứng. Lời giải chi tiết: Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge \frac{4}{\left( p-a \right)+\left( p-b \right)}\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge \frac{4}{c}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge \frac{4}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge \frac{4}{b}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\) \(\left( 1 \right)+\left( 2 \right)+\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2\left( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right)\ge 4\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge 2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 37 : Với \(a,b,c\) là các số dương. Đặt \(T=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) và phương pháp ghép đối xứng. Lời giải chi tiết: Với \(a,b,c\)là các số dương. Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) ; \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge \frac{4}{c+a}\) Cộng vế với vế ta được : \(2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) Điều này tương đương với \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)\) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 38 : Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng các công thức tính diện tích: \(S=\frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b.{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c.{{h}_{c}}\) và \(S=p.r\) Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c là độ dài các cạnh Lời giải chi tiết: Áp dụng các công thức tính diện tích: \(S=\frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b.{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c.{{h}_{c}}\)ta có: \({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}=2S\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\), suy ra : \({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}\ge 2S.\frac{9}{a+b+c}=2S.\frac{9}{2p}=\frac{9S}{p}\) Áp dụng công thức \(S=p.r\), suy ra \({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}\ge 9r\) Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 39 : Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là: Đáp án: C Phương pháp giải: Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3, ta cần đánh giá làm mất từng dấu căn thức trong biểu thức S. Ta sử dụng bất đẳng thức \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) như sau: \(\sqrt {3a + b} = {1 \over {\sqrt \alpha }}\sqrt {\left( {3a + b} \right).\alpha } = {1 \over {\sqrt \alpha }}.{{3a + b + \alpha } \over 2}\). Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(3a + b = \alpha \) Tương tự với \(\sqrt {3b + c} \) và \(\sqrt {3c + a} \) Vấn đề đặt ra là làm thế nào ta tìm được hệ số \(\alpha \) ? Dựa vào giả thiết \(a + b + c = 3\) và nhận xét biểu thức S có tính chất đối xứng đối với các biến \(a,b,c\) nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(a = b = c = 1\). Suy ra \(3a + b = 4\). Do đó \(\alpha = 4\). Lời giải chi tiết: \(\sqrt {3a + b} = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4} \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\) Tương tự: \(\sqrt {3b + c} \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\) \( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\) Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\) \(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a + b = 4 \cr 3b + c = 4 \hfill \cr 3c + a = 4 \cr a + b + c = 3 \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\) Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 40 : Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3} + 4}}{x}\) với \(x > 0\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tách \(\dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\) sau đó sử dụng BĐT Cô-si cho ba số \(x,y,z \ge 0:\,\,x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3} + 4}}{x} = 2{x^2} + \dfrac{4}{x} = 2{x^2} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x}\). Do \(x > 0 \Rightarrow \) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(2{x^2},\,\,\dfrac{2}{x},\,\,\dfrac{2}{x}\) ta có: \(f\left( x \right) \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\dfrac{2}{x}.\dfrac{2}{x}}} = 3.2 = 6\). Dấu "=" xảy ra \(2{x^2} = \dfrac{2}{x} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (tm). \( \Rightarrow \min f\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy \(m = 6\). Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 41 : Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {6x + 3} \right)\left( {5 - 2x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của BĐT Cô-si : \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {6x + 3} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 3\left( {2x + 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \le 3.\dfrac{{{{\left( {2x + 1 + 5 - 2x} \right)}^2}}}{4} = 27\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 2x + 1 = 5 - 2x \Leftrightarrow 4x = 4 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\). \( \Rightarrow f\left( x \right) \le 27 \Rightarrow \max f\left( x \right) = 27 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy \(M = 27\). Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 42 : Cho \(a + b = 1\). Giá trị lớn nhất của \(B = a{b^2}\) bằng
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 3 số không âm \(a,b,c:\,\,\,\,a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(B = a{b^2} = \frac{1}{2}.\left( {2a.b.b} \right)\mathop \le \limits^{Co\,si} \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{2a + b + b}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{2.1}}{3}} \right)^3} = \frac{4}{{27}}\) (với \(a + b = 1\)) \( \Rightarrow \) Giá trị lớn nhất của B là \(\frac{4}{{27}}\)khi \(2a = b,\,\,a + b = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3},\,b = \frac{2}{3}\). Chọn: C Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 43 : Cho 3 số dương \(a,b,c.\) Cho biểu thức \(T=\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức với \(a,b\)là hai số dương ta có \(\frac{4}{a+b}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) (*) Lời giải chi tiết: Ta có \(4T=4\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)\text{ }=3\frac{4}{a+b}+2\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\le \text{ }3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)+2\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)=\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\) Suy ra \(T\le \frac{1}{a}+\frac{5}{4b}+\frac{3}{4c}.\) Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 44 : Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\) là: Đáp án: A Phương pháp giải: Với \(a,b\)là hai số dương ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\)(*) Lời giải chi tiết: Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: \(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{2a+\left( b+c \right)}\le \text{ }\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c} \right)=\frac{1}{8a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{b+c}\) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: \(\frac{1}{b+c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Từ đó, suy ra \(\frac{1}{2a+b+c}\le \frac{1}{8a}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Tương tự ta có: \(\frac{1}{a+2b+c}\le \frac{1}{8b}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right);\,\,\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{1}{8c}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{a} \right)\) Cộng vế với vế ta có \(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\) Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) nên ta có \(P\le 1\). Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 45 : Cho \(0 < x < 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f\left( x \right) = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}} - 1\) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức để khi áp dụng BĐT Cô-si triệt tiêu hết \(x\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{4}{x} + \frac{x}{{1 - x}} - 1 = \frac{{4 - x}}{x} + \frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4 - 4x + 3x}}{x} + \frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + \frac{x}{{1 - x}} + 3\) Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow \frac{{1 - x}}{x} > 0;\,\,\,\,\frac{x}{{1 - x}} > 0\) Áp dụng BĐT Cô-si ta được: \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt 4 + 3 = 7\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{x} = \frac{x}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(\mathop {Min}\limits_{\left( {0;\,\,1} \right)} \,\,f\left( x \right) = 7\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = \frac{1}{2}.\) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 46 : Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(6cm.\) Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó \(AE = 2\left( {cm} \right),AH = x\left( {cm} \right),CF = 3\left( {cm} \right),CG = y\left( {cm} \right).\) Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang \(EFGH\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: C Phương pháp giải: - Sử dụng phương pháp phần bù: \({S_{EFGH}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow S = {S_{\Delta AEH}} + {S_{\Delta CGF}} + {S_{\Delta DGH}}\) lớn nhất. - Lập biểu thức tính \(S\) theo \(x,y\) rồi đánh giá GTLN của \(S\). Lời giải chi tiết: Ta có \({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - {S_{AEH}} - {S_{BEF}} - {S_{CFG}} - {S_{DGH}}\) Mà \({S_{ABCD}} = 6.6 = 36;{S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}BE.BF = \dfrac{1}{2}.4.3 = 6\) nên \({S_{EFGH}} = 30 - \left( {{S_{\Delta AEH}} + {S_{\Delta CGF}} + {S_{\Delta DGH}}} \right)\) Do đó \({S_{EFGH}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow S = {S_{\Delta AEH}} + {S_{\Delta CGF}} + {S_{\Delta DGH}}\) lớn nhất. Ta có: \(S = \dfrac{1}{2}AE.AH + \dfrac{1}{2}CF.CG + \dfrac{1}{2}DG.DH\) \( = x + \dfrac{{3y}}{2} + \dfrac{{\left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)}}{2}\) \( \Rightarrow 2S = 2x + 3y + \left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)\) \( = xy - 4x - 3y + 36\) \(\left( 1 \right)\) Ta có \(EFGH\) là hình thang \( \to \) \(\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\) \( \Rightarrow \Delta AEH~\Delta CGF\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CG}} = \dfrac{{AH}}{{CF}}\) \( \Rightarrow \dfrac{2}{y} = \dfrac{x}{3} \Rightarrow xy = 6\) \(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(2S = 42 - \left( {4x + \dfrac{{18}}{x}} \right)\). Để \(2S\) lớn nhất khi và chỉ khi \(4x + \dfrac{{18}}{x}\) nhỏ nhất. Mà \(4x + \dfrac{{18}}{x} \ge 2\sqrt {4x.\dfrac{{18}}{x}} = 12\sqrt 2 .\) Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow 4x = \dfrac{{18}}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \to y = 2\sqrt 2 \). Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 47 : Cho \(x,y>0\) và \(x+y\le 1\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) là: Đáp án: B Lời giải chi tiết: Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) Do đó \(A\ge (x+y)+\frac{4}{x+y}\) (1) Ta có \(\left( x+y \right)+\frac{4}{x+y}=\left( x+y \right)+\frac{1}{x+y}+\frac{3}{x+y}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có \(\left( x+y \right)+\frac{1}{x+y}\ge 2\) Mặt khác, do \(x+y\le 1\)nên ta có \(\frac{3}{x+y}\ge 3\) Suy ra \(\left( x+y \right)+\frac{4}{x+y}\ge 5\) (2) Từ (1) và (2) có \(A\ge 5\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + y = 1. Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 48 : Cho \(a,b,c\) là các số đôi một khác nhau và \(a + b + c < 0\). Xét giá trị biểu thức\(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\). Khi đó
Đáp án: B Phương pháp giải: Biến đổi tương đương. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ & P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right)} \right] \cr & = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right] \cr} \) Ta có: \(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] > 0 \cr} \) (vì \(a,b,c\) đôi một khác nhau) Mặt khác theo giả thiết \(a + b + c < 0\). Do đó \(P < 0\) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 49 : Cho \(a,b,c,d\) là các số thực thay đổi thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2,\,{c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3c + 4d - (ac + bd)\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng công thức \(\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \(3a + 4b\) từ đó tìm giá trị lớn nhất của \(P\) Lời giải chi tiết: Ta có: \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\alpha \) là góc có \(\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt 2 }};\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt 2 }}\) Lại có: \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\beta \) là góc có \(\sin \beta = \frac{3}{5};\cos \beta = \frac{4}{5}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{3}{5} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}.\frac{4}{5} = \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = \cos \left( {\alpha - \beta } \right) \ge - 1\\ \Rightarrow 3a + 4b \ge - 5\sqrt 2 .\end{array}\) Ta có: \({c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d \Leftrightarrow \left( {{c^2} - 6c + 9} \right) + \left( {{d^2} - 8d + 16} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {d - 4} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\) Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {c - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall c\\{\left( {d - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall d\end{array} \right. \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow c - 3 = d - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\d = 4\end{array} \right.\) Khi đó \(P = 9 + 16 - \left( {3a + 4b} \right) = 25 - \left( {3a + 4b} \right) \le 25 - \left( { - 5\sqrt 2 } \right) = 25 + 5\sqrt 2 \) Chọn B. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 50 : Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + \sqrt {8 - x} \).
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Tìm ĐKXĐ của hàm số. +) Sử dụng phương pháp bình phương 2 vế. +) Đánh giá, sử dụng BĐT Cô-si, chứng minh \(m \le f\left( x \right) \le M\). Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\8 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 8\). +) Ta có \({f^2}\left( x \right) = 4\left( {x - 4} \right) + 8 - x + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} = 3x - 8 + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} \). \( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = 3\left( {x - 4} \right) + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} + 4\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 2\) Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\). Vậy \(m = 2\). +) Với \(x \in \left[ {4;8} \right]\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\begin{array}{l}x - \dfrac{4}{5} = x - 4 + \dfrac{{16}}{5} \ge 2\sqrt {\left( {x - 4} \right).\dfrac{{16}}{5}} = \dfrac{{8\sqrt {x - 4} }}{{\sqrt 5 }}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{44}}{5} - x = 8 - x + \dfrac{4}{5} \ge 2\sqrt {\left( {8 - x} \right)\dfrac{4}{x}} = \dfrac{{4\sqrt {8 - x} }}{{\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) Cộng vế (1) với (2) ta có: \(\dfrac{{8\sqrt {x - 4} + 4\sqrt {8 - x} }}{{\sqrt 5 }} \le x - \dfrac{4}{5} + \dfrac{{44}}{5} - x = 8\). \( \Rightarrow \pi 8\sqrt {x - 4} + 4\sqrt {8 - x\sqrt 5 } \le 8 \Leftrightarrow \dfrac{{4f\left( x \right)}}{{\sqrt 5 }} \le 8 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 2\sqrt 5 \). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{36}}{5}\). Vậy \(M = 2\sqrt 5 \). Chọn C. Đáp án - Lời giảiXem thêm Quảng cáo |
