Bài tập nhị thức newton tìm hệ số năm 2024

Nhị thức Newton là một định lý về toán học quan trọng về việc khai triển hàm mũ của tổng, cụ thể là khai triển nhị thức bậc n thành đa thức có n+ 1 số hạng. Nhị thức Newton ứng dụng trong nhiều bài toán chứng minh dãy số và các phép tính tổ hợp chỉnh hợp quan trọng.

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ trình bày tổng quan công thức, cách khai triển, công thức của tam giác Pascal (hệ quả) và ứng dụng vào một số dạng bài tập đặc trưng.

Công thức

Cho a, b là các số thực và n ∈ ℕ*. Ta có:

Khai triển

Ví dụ 1. Khai triển các nhị thức sau

1. (x + 1)4

2. (x + 2y)5

Hướng dẫn giải

a)

b)

c)

d)

Hệ quả

– Trong khai triển (a ± b)n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau. Tức là:

– Số hạng tổng quát là và số hạng thứ N thì k = N − 1.

– Trong khai triển (a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi −, rồi +,…

– Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.

– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:

Tam giác Pascal

Hệ số khai triển

Các hệ số của các khai triển (a + b)0, (a + b)1, (a + b)2,… , (a + b)n có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác Pascal.

Hằng đẳng thức Pascal

Ví dụ: Viết đầy đủ dạng khai triển của các nhị thức sau:

1. (a + b)6

2. (a + b)7

Hướng dẫn giải

1. (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

2. (a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Viết công thức số hạng tổng quát.

Bước 2. Dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn số hạng tổng quát.

Bước 3. Dựa vào điều kiện cho trước để tìm số hạng thỏa mãn bài toán.

Chú ý:

– Với n ∈ ℕ* và x ≠ 0 thì:

– Với m ∈ ℤ, n ∈ ℕ* và x > 0 thì:

– Với các điều kiện xác định thì:

– Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1. (2x – 3y)17 chứa x8y9

ĐS:

2. (3x – x2)12 chứa x15

ĐS:

3. chứa x11

ĐS:

4. chứa x2

ĐS:

Hướng dẫn giải

1. Số hạng tổng quát trong khai triển (2x −3y)17 là:

Để có số hạng chứa x8y9 thì: k = 9.

Vậy hệ số của số hạng chứa x8y9 là:

2. Số hạng tổng quát trong khai triển (3x – x2)12 là:

Để có số hạng chứa x15 thì:

12 + k = 15 ⇔ k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa x15 là

3. Số hạng tổng quát trong khai triển là:

Để có số hạng chứa x11 thì:

20 − 3k = 11 ⇔ k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa x11 là

4. Số hạng tổng quát trong khai triển là:

Để có số hạng chứa x2 thì:

Vậy hệ số của số hạng chứa x2 là

Câu 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (1 + x + 3x2)10.

ĐS: 1695

Hướng dẫn giải

Ta có:

Để có số hạng chứa x4 thì:

Do đó, số hạng chứa x4 là:

Vậy hệ số của số hạng chứa x4 là 1695.

Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5.

ĐS: 101

Hướng dẫn giải

Ta có:

Để có số hạng chứa x10 thì:

Do đó, số hạng chứa x10 là:

Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là 101.

Câu 4. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1. (x + y)25 chứa x12y13

ĐS:

2. (x − 3)9 chứa x4

ĐS:

3. (1 − 3x)11 chứa x6

ĐS:

4. (x2 − 2x)10 chứa x16

ĐS:

5. chứa x31

ĐS:

6. chứa x2

ĐS: -230

Hướng dẫn giải

1. Số hạng tổng quát trong khai triển (x + y)25 là:

Để có số hạng chứa x12y13 thì: k = 13.

Vậy hệ số của số hạng chứa x12y13 là

2. Số hạng tổng quát trong khai triển (x − 3)9 là:

Để có số hạng chứa x4 thì:

9 − k = 4 ⇔ k = 5.

Vậy hệ số của số hạng chứa x4 là

3. Số hạng tổng quát trong khai triển (1 − 3x)11 là:

Để có số hạng chứa x6 thì: k = 6.

Vậy hệ số của số hạng chứa x6 là

4. Số hạng tổng quát trong khai triển (x2 − 2x)10 là

Để có số hạng chứa x16 thì:

24 − k = 16 ⇔ k = 8.

Vậy hệ số của số hạng chứa x16 là

5. Số hạng tổng quát trong khai triển là

Để có số hạng chứa x31 thì:

40 − 3k = 31 ⇔ k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa x31 là .

6. Ta có:

Để có số hạng chứa x2 thì:

Do đó, số hạng chứa x2 là:

Vậy hệ số của số hạng chứa x2 là −230.

Câu 5. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển của nhị thức

1. với x ≠ 0

ĐS:

2. với xy ≠ 0

ĐS:

3. với x > 0

ĐS:

Hướng dẫn giải

1. Số hạng tổng quát trong khai triển là:

Để có số hạng không chứa x thì:

18 − 3k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x là

2. Số hạng tổng quát trong khai triển

Để có số hạng không chứa x thì:

8 − 2k = 0 ⇔ k = 4.

Vậy số hạng không chứa x là:

3. Số hạng tổng quát trong khai triển là:

Để có số hạng không chứa x thì:

Vậy số hạng không chứa x là

Câu 6. Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển:

x(1 − 2x)5 + x2(1 + 3x)10.

Đs: 3310x5

Hướng dẫn giải

Ta có:

Để có số hạng chứa x5 thì

Vậy số hạng chứa x5 là:

Câu 7. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển:

(2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.

ĐS: 896

Hướng dẫn giải

Ta có:

Để có số hạng chứa x5 thì:

Do đó, số hạng chứa x5 là:

Vậy hệ số của số hạng chứa x5 là 896.

Câu 8. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1. (2x + y)13 chứa x6y7

ĐS:

2. (x3 – xy)15 chứa x25y10

ĐS:

3. với xy ≥ 0 và y ≠ 0 chứa x6y2

ĐS:

4. (1 + x + 2x2)10 chứa x17

ĐS:

5. (x2 + x – 1)5 chứa x3

ĐS:

6. (1 + x2 − x3)8 chứa x8

ĐS:

7. chứa x8

ĐS:

Câu 9. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển của nhị thức

1. , với x ≠ 0

ĐS:

2. , với x ≠ 0

ĐS:

3. , với x ≠ 0

ĐS:

4. , với x ≠ 0

ĐS:

5. , với x ≠ 0

ĐS:

6. , với x ≠ 0

ĐS:

7. , với x ≠ 0

ĐS:

8. , với x > 0

ĐS:

9. , với x > 0

ĐS:

10. , với x > 0

ĐS:

11. , với x > 0

ĐS:

Dạng 2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn (a + b)n

Phương pháp giải

– Sử dụng số hạng tổng quát của khai triển là .

– Từ giả thiết tìm ra được giá trị k.

Chú ý

Nhị thức Niu-tơn

Hệ quả

– Với a = b = 1, ta có:

– Với a = 1; b = −1, ta có:

– Nếu P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn thì tổng các hệ số trong khai triển là P(1).

Bài tập vận dụng

Câu 1.

1. Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển biết

ĐS: −6435x10

2. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển , biết

ĐS: 6x2

3. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển , biết

ĐS: 280x8

Hướng dẫn giải

1. Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển biết

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 4. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x10 ứng với:

45 − 5k = 10 ⇔ k = 7.

Vậy số hạng chứa x10 trong khai triển là:

2. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển , biết

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x2 ứng với:

12 − 5k = 2 ⇔ k = 2.

Vậy số hạng chứa x2 trong khai triển là:

3. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển , biết

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 3. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x8 ứng với:

14 − 2k = 8 ⇔ k = 3.

Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển là:

Câu 2. Xác định số nguyên dương n để trong khai triển (1 + x2)n có hệ số của x8 bằng 6 lần hệ số của x4.

ĐS: n = 11

Hướng dẫn giải

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 4.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Hệ số của x8 là . Hệ số của x4 là

Do hệ số của x8 bằng 6 lần hệ số của x4 nên:

Vậy n = 11 là giá trị cần tìm.

Câu 3.

1. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024. Tìm hệ số của x12.

ĐS: 210

2. Tìm hệ số của x6 trong khai triển với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.

ĐS: 120

Hướng dẫn giải

1. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024. Tìm hệ số của x12.

Đặt: P(x) = (1 + x2)n.

Tổng các hệ số trong khai triển P(x) là P(1) = 2n.

Do tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024 nên:

2n = 1024 ⇔ n = 10.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x12 ứng với:

2k = 12 ⇔ k = 6.

Vậy hệ số của x12 là .

2. Tìm hệ số của x6 trong khai triển với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.

Đặt .

Tổng các hệ số trong khai triển P(x) là P(1) = 2n.

Do tổng các hệ số trong khai triển là 1024 nên:

2n = 1024 ⇔ n = 10.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x6 ứng với:

2k = 6 ⇔ k = 3.

Vậy hệ số của x6 là .

Câu 4. Cho P(x) = (1 + 2x)n, n ∈ ℕ*. Khai triển P(x) ta được P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn. Tính n và a11 biết rằng:

ĐS: 24576

Hướng dẫn giải

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 11.

Ta có:

Mặt khác:

Khi đó, số hạng tổng quát trong khai triển P(x) là:

Ta suy ra:

Vậy n = 12, a11 = 24576.

Câu 5.

1. Tìm hệ số của x4 trong khai triển , biết .

ĐS: -1792

2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , biết .

ĐS: 35

3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , với n ∈ ℕ*, x ≠ 0, biết .

ĐS: 252

4. Tìm hệ số của x10 trong khai triển , biết .

ĐS: 1088640

Hướng dẫn giải

1. Tìm hệ số của x4 trong khai triển , biết .

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x4 ứng với:

4k − 8 = 4 ⇔ k = 3.

Vậy hệ số của x4 trong khai triển là:

2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , biết .

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 3. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng không chứa x ứng với:

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , với n ∈ ℕ*, x ≠ 0, biết .

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 1. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng không chứa x ứng với:

8 − 4k = 0 ⇔ k = 2.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

4. Tìm hệ số của x10 trong khai triển , biết .

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x10 ứng với:

30 − 5k = 10 ⇔ k = 4.

Vậy hệ số của x10 trong khai triển là:

Câu 6. Tính biết hệ số của x2 trong khai triển (1 + 3x)n là 90.

ĐS:

Hướng dẫn giải

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Hệ số của x2 là

Do hệ số của x2 bằng 90 nên:

Vậy:

Câu 7. Trong khai triển nhị thức (1 + 2ax)n,(x ≠ 0) ta có được số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 48x, số hạng thứ ba là 1008x2. Tìm n và a.

ĐS: n = 8, a = 3

Hướng dẫn giải

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

– Số hạng đầu là 1 nên .

– Số hạng thứ hai là 48x nên .

– Số hạng thứ ba là 1008x2 nên .

Ta suy ra:

Vậy:

Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , biết hiệu hệ số của số hạng thứ ba và thứ hai bằng 35.

ĐS: 252

Hướng dẫn giải

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

– Hệ số của số hạng thứ ba là .

– Hệ số của số hạng thứ hai là .

Do hiệu hệ số của số hạng thứ ba và thứ hai bằng 35 nên:

Khi đó số hạng không chứa x là .

Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Tìm số hạng chứa x10y6 trong khai triển (2x2 + y)n.

ĐS: 14784x10y6

Hướng dẫn giải

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Ta suy ra số hạng chứa x10y6 trong khai triển là:

Câu 10. Cho khai triển nhị thức: (1 − 2x + x3)n = a0 + a1x + a2x2 + ··· + a3nx3n. Xác định n và tìm a6, biết rằng:

ĐS: −31

Hướng dẫn giải

Đặt P(x) = (1 − 2x + x3)n.

Suy ra:

Mặt khác:

Khi đó:

Ta suy ra:

Câu 11. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng

1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , biết

ĐS: 320320

2. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: . Tìm hệ số của x7 trong khai triển: (1 − 2x3)(2 + x)n.

ĐS: −2224

3. Cho n ∈ ℕ* và a, b (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Niu-tơn có hạng tử chứa a4b9, tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau.

ĐS: 5005a6b6

4. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển .

ĐS: 32440320

Hướng dẫn giải

1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển , biết

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 9. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng không chứa x ứng với:

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

2. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: . Tìm hệ số của x7 trong khai triển: (1 − 2x3)(2 + x)n.

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Vậy hệ số của x7 trong khai triển là:

3. Cho n ∈ ℕ* và a, b (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Niu-tơn có hạng tử chứa a4b9, tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau.

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 4.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Trong khai triển có hạng tử chứa a4b9 nên:

Khi đó số hạng tổng quát là:

Số hạng chứa a và b với số mũ bằng nhau khi:

Vậy số hạng chứa a và b với số mũ bằng nhau là:

4. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển .

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 3. Khi đó:

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x11 ứng với:

51 − 5k = 11 ⇔ k = 8.

Vậy hệ số của x11 trong khai triển là:

Câu 12. Trong khai triển nhị thức (1 + ax)n, ta có số hạng đầu bằng 1, số hạng thứ hai bằng 24x, số hạng thứ ba bằng 252x2. Tìm n và a.