Đề bài
Vẽ hai dây cung AB, AD của đường tròn [O ; R] thỏa mãn AB = \[R\sqrt 2 \] , AD = R và tia AO nằm giữa hai tia AB, AD. Vẽ dây cung BC song song với AD.
a] Tính số đo các cung AD, AB, BC.
b] Tứ giác ABCD là hình gì?
c] Các tiếp tuyến tại B và tại C cắt nhau tại E. Chứng minh rằng tam giác EBC là tam giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tính các góc \[\widehat {AOD};\,\,\widehat {AOB};\,\,\widehat {BOC}\] và sử dụng định lí Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
b] Chứng minh ABCD là hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau.
c] Chứng minh tam giác EBC là tam giác cân có 1 góc bằng 600.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác OAB có: \[O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} = A{B^2} \Rightarrow \Delta OAB\] vuông tại O [Định lí Pytago đảo] [Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Xét tam giác OAD có: \[OA = OD = AD = R \Rightarrow \Delta OAD\] đều \[ \Rightarrow \widehat {AOD} = {60^0} = sdcung\,AD\] [Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Ta có: AD//BC \[ \Rightarrow cung\,AB = cung\,CD \Rightarrow sdcung\,CD = {90^0}\] [2 cung bị chắn giữa 2 dây song song].
\[ \Rightarrow \widehat {COD} = {90^0}\][Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Mà \[\widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COD} + \widehat {AOD} = {360^0}\]
\[ \Rightarrow {90^0} + \widehat {BOC} + {90^0} + {60^0} = {360^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\]
\[ \Rightarrow sdcung\,BC = {120^0}\] [Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
b] Ta có AD//BC nên ABCD là hình thang.
Tam giác OBC cân tại O \[\left[ {OB = OC = R} \right]\] \[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} \]\[\,= \dfrac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\].
Tam giác OAB và tam giác OCD vuông cân tại O.
\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \widehat {OCD} = \widehat {ODC} = {45^0}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {OBA} + \widehat {OBD} = {45^0} + {30^0} = {75^0};\\\,\,\,\,\,\,\widehat {BCD} = \widehat {OCB} + \widehat {OCD} = {30^0} + {45^0} = {75^0}\end{array}\]
\[\widehat {ABC} = \widehat {BCD} \Rightarrow ABCD\] là hình thang cân [Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau].
c] Ta có \[EB = EC\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau] \[ \Rightarrow \Delta EBC\] cân tại E.
Lại có \[\widehat {EBC} = \widehat {EBO} - \widehat {OBC} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\] \[ \Rightarrow \Delta EBC\] đều [tam giác cân có 1 góc 600 là tam giác đều].