Đề bài
Giải các hệ phương trình sau:
a] \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\\dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right.\]
b] \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\0,2x + 0,5y = 1\end{array} \right.\]
c] \[\left\{ \begin{array}{l}[1 + \sqrt 2 ]x + y = 0\\x + [1 - \sqrt 2 ]y = 0\end{array} \right.\]
d] \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]y = 1\end{array} \right.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải các hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
\[a]\,\,\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\\dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\4x + y = 3\end{array} \right.\]
Ta có: \[\dfrac{4}{4} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{2}{3} \Rightarrow \] Hệ phương trình trên vô nghiệm.
\[b]\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\0,2x + 0,5y = 1\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\2x + 5y = 10\end{array} \right.\]
Ta có: \[\dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} = \dfrac{{10}}{{10}} = 1 \Rightarrow \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.
\[\begin{array}{l}c]\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + y = 0\\x + \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + y = 0\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 0\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {0;0} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình.
\[\begin{array}{l}d]\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + y = \sqrt 2 + 1\\\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x - 2y = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = \sqrt 2 - \sqrt 3 \\\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + \dfrac{{\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]}}{3} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + \dfrac{{2 - \sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x = \dfrac{{1 + \sqrt 6 + \sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt 6 + \sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{3\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 - 4}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 - 2}}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 - 2}}{3};\dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình.