Đề bài
Không giải phương trình \[3{x^2} + 5x - 6 = 0\] , hãy tính giá trị các biểu thức sau biết x1, x2 là nghiệm của phương trình trên:
a] \[A = [3{x_1} - 2{x_2}] + [3{x_2} - 2{x_1}]\]
b]\[B = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\]
c]\[C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\]
d]\[D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai sau đó thay vào các biểu thức A, B, C, D.
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Áp dụng hệt thức Viet cho phương trình \[3{x^2} + 5x - 6 = 0\]ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{5}{3}\\{x_1}.{x_2} = - 2\end{array} \right.\]
a]
\[\begin{array}{l}A = [3{x_1} - 2{x_2}] + [3{x_2} - 2{x_1}] \\= 9{x_1}{x_2} - 6x_1^2 - 6x_2^2 + 4{x_1}{x_2}\\ = 13{x_1}{x_2} - 6\left[ {x_1^2 + x_2^2} \right] \\= 13{x_1}{x_2} - 6\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\\ = 13.\left[ { - 2} \right] - 6.\left[ {{{\left[ {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right]}^2} - 2.\left[ { - 2} \right]} \right] \\= - 26 - 6.\dfrac{{61}}{9} = - \dfrac{{200}}{3}\end{array}\]
b]
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\\ = \dfrac{{{x_1}\left[ {{x_1} - 1} \right] + {x_2}\left[ {{x_2} - 1} \right]}}{{\left[ {{x_2} - 1} \right]\left[ {{x_1} - 1} \right]}} \\= \dfrac{{x_1^2 - {x_1} + x_2^2 - {x_2}}}{{{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}}}\\ = \dfrac{{\left[ {x_1^2 + x_2^2} \right] - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}{{{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}\\ = \dfrac{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}{{{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}\\ = \dfrac{{{{\left[ { - \dfrac{5}{3}} \right]}^2} - 2.\left[ { - 2} \right] + \dfrac{5}{3}}}{{ - 2 + \dfrac{5}{3}}} = - \dfrac{{76}}{3}\end{array}\]
c]
\[\begin{array}{l}C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \\\Leftrightarrow {C^2} = {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left[ {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right]^2} - 4.\left[ { - 2} \right] = \dfrac{{97}}{9}\\ \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt {97} }}{3}\end{array}\]
d]
\[\begin{array}{l}D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}} \\\;\;\;\;= \dfrac{{\left[ {{x_1} + 2} \right]{x_2} + \left[ {{x_2} + 2} \right]{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} \\\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}{x_2} + 2{x_2} + {x_1}{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\; = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 2\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}{{{x_1}{x_2}}} \\\;\;\;\;= \dfrac{{2.\left[ { - 2} \right] + 2.\left[ {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right]}}{{ - 2}} = \dfrac{{11}}{3}\end{array}\]