Phương trình tiếp tuyến của parabol song song với đường thẳng

1. Phương pháp giải

– Xác định tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn(C)

– DoΔ∥d:Ax+By+C=0⇒Δ:Ax+By+c=0(c≠C)

–Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R

Giải phương trình này ta tìm đượcc.

Hình minh họa

Ví dụ áp dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y+3)2=16 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:6x−8y+2019=0.

Giải
(C)có tâmI(1;−3)và bán kínhR=4.

Tiếp tuyếnΔsong song vớidnên có phương trình dạng6x−8y+c=0,(c≠2019).

Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R⇔|30+c|100√=4

Giải phương trình này ta đượcc=10hoặcc=−70.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán với phương trình tương ứng là

6x−8y+10=0;6x−8y−70=0

Ngoài dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng, chúng ta còn có hai dạng bài tập khác:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi toạ độ.

- Nếu phường trình đường trong là: x2 + y2 - 2ax – 2by +c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

-Nếu phương trình đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2thì phương trình tiếp tuyến là: (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I(x0; y0) cho trước ngoài đường tròn.

Viết phường trình của đường thẳng d qua I(x0; y0) :

y – y0 = m(x – x0) ⇔ mx – y – mx0+ y0 = 0 (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phường trình tiếp tuyến.

Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến

2. Bài tập vận dụng

Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2−4x+8y−5=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:2x−3y+5=0.

Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2+2x−2y−15=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=4x−2019.

Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x+5)2+(y+2)2=36 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=−5x+13.

Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):2x2+2y2−4x+12y+18=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:−3x+4y+2018=0.

Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y−3)2=22 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y= −2018x+35

Dưới đây là một số kiến thức bổ sung để bạn đọc hiểu rõ thêm về tiếp tuyến của đường tròn.

1. Tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến của một đường cong tại mộtđiểmbất kỳ thuộc đường cong có nghĩa là một đường thẳng chỉchạmvào đường cong tại điểm đó.

Tiếp tuyến

2. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là mộtđường thẳngđi qua một điểm của đường tròn và vuông góc vớibán kínhđi qua điểm đó.

Tiếp tuyếncủa đường tròn

3. Tính chất của tiếp tuyến

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

Tính chất tiếp tuyến của đường tròn

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu 2 tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từtâmcủa một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương trình tiếp tuyến của parabol y = x2+ x + 3 song song với đường thẳng

là:

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình tiếp tuyến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến. Phương pháp. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x + y) là: y = f'(x)(x – xo) + f(xo). Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình f(x) = k tìm hoành độ tiếp điểm. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị (C) và điểm M(x; f(x)). Phương trình của tiếp tuyến với (C) tại M là: Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M(x0; yo) (c): y = f'(xo)(x – x) + y, hoặc y – yo = f'(xo)(x – x). Ví dụ 2: Cho hàm số f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M có hoành độ x = -1. Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x tại điểm có hoành độ bằng -1 là: Ta có: f(1) = 1; f'(x) = 4x, do đó f(-1) = -4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -4(x + 1) + 1 = -4x – 3. Ví dụ 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm mà tiếp điểm có tung độ bằng -1 có phương trình là: Ta có: Khi y = -1 thì x = -1, do đó x = -1. f(-1) = -1; f'(x) = 3×2, do đó f'(-1) = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2. Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x có hệ số góc bằng 4. Ta có: f'(x) = 4x. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 nên 4x = 4, do đó x = 1; f(1) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4(x – 1) + 1 = 4x – 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 16: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y = x tại điểm có hoành độ 1. Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x tại điểm (-1; -1). Ta tính được k = y’, x = -1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y + 1 = 3(x + 1) + y = 3x + 2. Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y tại điểm có hoành độ bằng -1. Ta tính được k = y'(-1) = -1. Với x = -1. Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y tại điểm có tung độ bằng 8. Ta có y = 8. Suy ra phương trình tiếp tuyến y – 8 = 12(x – 2)ey = 12x – 16. Câu 20: Cho hàm số y. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. Câu 21: Cho hàm số y = x – 3×2 + 2. Viết phương trình t ến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = -2. Phương trình hoành độ giao điểm. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7. k = y'(-1) = 9 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2. Với x = 2. Câu 22: Cho hàm số y = x – 3×2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7. Gọi M là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được k = y'(x) = 3x – 6x. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 7 nên có k = 98. Với x = -1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7(loại) (vì trùng với đường thẳng đã cho). Với x = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x – 25.

Câu 23: Cho hàm số y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x. Gọi M là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được k = y’ = 3x – 6x. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y nên có k = -16. Với x = 5. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x – 173. Với x = -3 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x + 83. k = 45. Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng. Gọi M (x; y) là tọa độ tiếp điểm. Câu 25: Cho hàm số y = x – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng. Phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y = k(x – x). Suy ra tiếp tuyến d có một vectơ pháp tuyến là n = (-k; 1). Đường thẳng A có một vectơ pháp tuyến là r = (4; -3).