- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
Đề bài
Bài 1.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Tính diện tích tứ giác EFGH, biết AC = 8cm và BD = 6cm.
Bài 2.Cho hình bình hành ABCD, vẽ bốn điểm P, Q, R, S của các cạnh CD, AD, AB và BC. Chứng minh tứ giác tạo bởi các đường thẳng này có diện tích bằng \[{1 \over 5}\] diện tích hình bình hành ABCD.
LG bài 1
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác
Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật
Lời giải chi tiết:
Ta có EF, HG lần lượt là các đường trung bình của \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADC\] nên \[{\rm{EF}}//HG//AC\] và EF = HG. Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.
Tương tự \[EH// BD\]mà \[BD \bot AC\left[ {gt} \right] \Rightarrow {\rm{EF}} \bot {\rm{EH,}}\] do đó EFGH là hình chữ nhật và \[EF = {1 \over 2}AC = 4[cm],\] \[EH = {1 \over 2}BD = 3cm.\]
Vậy \[{S_{EFGH}} = EF.EH = 12\left[ {c{m^2}} \right].\]
LG bài 2
Phương pháp giải:
Nối A với C và chỉ ra các tam giác có cùng diên tích
Lời giải chi tiết:
Nối A với C ta có AP là đường trung tuyến của \[\Delta ACD\] nên
\[{S_{ADP}} = {S_{APC}} = {1 \over 2}{S_{ADC}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}}\]
Tương tự \[{S_{ACR}} = {S_{BCR}} = {1 \over 2}{S_{ABC}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}}.\]
\[ \Rightarrow {S_{APC}} + {S_{ACR}} = {S_{{\rm{AR}}CP}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}}.\]
\[{S_{ADP}} = {S_{APC}} = {1 \over 2}{S_{ADC}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}}\]
Tương tự \[{S_{ACR}} = {S_{BCR}} = {1 \over 2}{S_{ABC}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}}.\]
\[ \Rightarrow {S_{APC}} + {S_{ACR}} = {S_{{\rm{AR}}CP}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}}.\]
Gọi H là giao điểm của AP và BQ, K là giao điểm của CR và BQ, M là giao điểm của AP và DS, N là giao điểm của CR và DS.
Dễ thấy HKNM là hình bình hành nên các tam giác sau đây có cùng diện tích:
\[{S_{AKH}} = {S_{HKM}} = {S_{MNH}} = {S_{MNC}} \]\[\,= {S_{AKB}} = {S_{MCD}}\]
Mà \[{S_{AKR}} = {1 \over 2}{S_{AKB}}\] [đáy gấp đôi, chung đường cao]
Tương tự \[{S_{MPC}} = {1 \over 2}{S_{MCD}}\]
\[ \Rightarrow {S_{AKH}} = {S_{HKM}} = {S_{MNH}} \]\[\,= {S_{MNC}} = \left[ {{S_{AKR}} + {S_{MPC}}} \right] \]\[\,= {1 \over 5}{S_{ARCP}}.\]
Mà \[{S_{ARCP}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}}\]
\[ \Rightarrow {S_{HKM}} + {S_{MKN}} = {1 \over 5}{S_{ABCD}}\] hay \[{S_{KHMN}} = {1 \over 5}{S_{ABCD}}.\]