Đề bài
Chứng minh rằng hai trung tuyến kẻ từ \[B\] và \[C\] của tam giác \[ABC\] vuông góc với nhau khi và chỉ khi có hệ thức sau:
\[\cot A = 2[\cot B + \cot C].\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác ABC [h.57].
Khi đó \[GB \bot GC \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{4}{9}\left[ {m_b^2 + m_c^2} \right]\]
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 9{a^2} = 4\left[ {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right]\\ \Leftrightarrow 9{a^2} = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\\\Leftrightarrow 5{a^2} = {b^2} + {c^2}.\end{array}\]
Biến đổi đẳng thức \[\cot A = 2\left[ {\cot B + \cot C} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\]
\[= 2\left[ {\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R} \right]\] [ theo bài58].
\[ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}\].
Vậy \[GB \bot GC\]
\[\Leftrightarrow \cot A = 2\left[ {\cot B + \cot C} \right]\].