Toán 11 bài phương pháp quy nạp toán học năm 2024
Ở các cấp học dưới, phương pháp quy nạp toán học thường được giới thiệu khi giải các bài toán cực khó. Tuy nhiên, trong chương trình toán 11 chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn phương pháp này và vận dụng giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Show Bài toánChứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Phương pháp chứng minh+) Bước 1. Với n = 1, ta chứng minh P(1) đúng. +) Bước 2. Giả sử P(n) đúng với n = k ≥ 1. Ta cần chứng minh P(n) đúng với n = k + 1. Kết luận, mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Lưu ýĐể chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với n ≥ p, p là số nguyên dương. Ta cũng làm các bước tương tự như trên. Tài liệu gồm 10 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương pháp quy nạp toán học, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANTài liệu gồm 43 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân. Tài liệu được biên soạn bởi nhóm tác giả: PGS.TS Lê Văn Hiện, Trần Minh Ngọc, Nguyễn Hồng Quân, Nguyễn Đình Hoàn, Lý Công Hiếu, Nguyễn Văn Vũ, Nguyễn Đỗ Chiến, Nguyễn Ngọc Chi, Nguyễn Văn Ái, Nguyễn Hoàng Việt, Nguyễn Thị Thắm, Nguyễn Vũ Minh, Phan Xuân Dương, Nguyễn Hữu Bắc. Kiến thức: + Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp. + Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số. + Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn. Kĩ năng: + Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. + Biết cách xác định dãy số. + Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. + Tính được tổng của một dãy số.
1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:Bài toán Gọi \(P\left( n \right)\) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\). Phương pháp quy nạp toán học - Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\). - Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\). Chú ý: Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì: - Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\). - Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\). Ví dụ: Chứng minh \({n^7} - n\) chia hết cho \(7\) với mọi \(n \in {N^*}\). Giải: Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} - n\). - Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng. - Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7\). Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\) Ta có: \({\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)\) \(= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}\) \(+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right)\) \(= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}\) \(+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 \) \(= \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)\) Do \(({k^7} - k) \vdots 7\) và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\). |