- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
LG a
\[{x^2} - 4{ {x + }}m - 5\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\Delta ' = 4 - \left[ {m - 5} \right] = 9 - m\] và tam thức có \[a = 1 > 0\]. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \[\Delta ' = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\]
LG b
\[{x^2} - \left[ {m + 2} \right]x + 8\,m + 1\]
Lời giải chi tiết:
Tam thức đã cho có biệt thức
\[\Delta = {\left[ {m + 2} \right]^2} - 4\left[ {8m + 1} \right] \]
\[= {m^2} - 28m= m\left[ {m - 28} \right]\] và \[a = 1\].
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:
\[\Delta = m\left[ {m - 28} \right] < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\]
LG c
\[{x^2} + 4{ {x}} + {\left[ {m - 2} \right]^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\Delta ' = 4 - {\left[ {m - 2} \right]^2} = - {m^2} + 4m\] và hệ số \[a = 1\]. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \[\Delta = - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\] hoặc \[m < 0\].
LG d
\[\left[ {3m + 1} \right]{x^2} - \left[ {3m + 1} \right]x + m + 4.\]
Lời giải chi tiết:
*] Nếu \[3m + 1 = 0\] thì \[m = - \dfrac{1}{3}.\] Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \[x\].
*] Nếu \[m \ne - \dfrac{1}{3}\] thì tam thức đã cho có biệt thức
\[\begin{array}{l}\Delta = {\left[ {3m + 1} \right]^2} - 4\left[ {m + 4} \right]\left[ {3m + 1} \right]\\ = \left[ {3m + 1} \right]\left[ { - m - 15} \right]\\ = - 3{m^2} - 46m - 15\\ = - \left[ {3{m^2} + 46m + 15} \right].\end{array}\]
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi
\[\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left[ {3m + 1} \right]\left[ {m + 15} \right] > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left[ * \right] \cr} \]
\[\Leftrightarrow m > - {1 \over 3}\] hoặc \[m < - 15\]
Kết hợp với [*] suy ra \[m > - \dfrac{1}{3}.\] Tóm lại với \[m \ge - \dfrac{1}{3}\] thì biểu thức luôn dương với mọi \[x\].