* Lý thuyết so sánh hai số tự nhiên
- Số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: 123456 > 65432
- Nếu hai số có cùng số chữ số thì ta so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng theo thứ tự từ trái sang phải. Đến hàng nào đó mà chữ số ở cùng một hàng của số nào đó lớn hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: 2014 899 > 2013 899.
- Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Ví dụ: 4289 = 4289.
- Căn cứ vào vị trí trên tia số: Số nào gần gốc tia số hơn thì số đó bé hơn.
- Căn cứ vào vị trí trong dãy số tự nhiên: Số đứng trước bao giờ cũng bé hơn số đứng sau.
* Lý thuyết về số thập phân
Khái niệm: Số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân được phân cách nhau bởi dấu phẩy.
Trong đó:
- Những chữ số viết bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên.
- Những chữ số viết bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân.
VD: Số thập phân: 23,456 trong đó: 23: Phần nguyên; 456: phần thập phân.
Chú ý: Số tự nhiên có thể xem là số thập phân với phần thập phân chỉ gồm các chữ số 0.
VD: Số 54 có thể viết dưới dạng số thập phân là 54,0; 54,00…
Cách đọc số thập phân: Muốn đọc một số thập phân, ta đọc lần từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết đọc phần nguyên và đọc “phẩy” sau đó đọc số thuộc phần thập phân [đọc đầy đủ các hàng]
VD: 123,456 đọc là: Một trăm hai mươi ba phẩy bốn trăm năm mươi sáu.
101,003 đọc là: Một trăm linh một phẩy không trăm linh ba.
Cách viết số thập phân: Muốn viết số thập phân ta viết từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết ta viết nguyên rồi viết dấu “phẩy” và viết phần thập phân.
VD: Viết số:
Một nghìn hai trăm bốn mươi sáu phẩy không nghìn không trăm hai mươi ba: 1246,0023.
* Lý thuyết về số tự nhiên và cấu tạo số
1. Các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…là các số tự nhiên. Các số tự nhiên được viết theo thứ tự đó tạo thành dãy một số tự nhiên liên tiếp.
- Số 0 là số tự nhiên bé nhất.
- Không có số tự nhiên lớn nhất.
2. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn [kém] nhau một đơn vị.
- Thêm một đơn vị vào một số tự nhiên, ta được số tự nhiên liền sau nó.
- Bớt một đơn vị ở một số tự nhiên khác 0, ta được một số tự nhiên liền trước nó.
3. Khi viết các số tự nhiên trong hệ thập phân người ta dùng 10 chữ số: 0;
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
4. Tính chẵn, lẻ của số tự nhiên:
- Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn.
- Các số có tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ.
- Hai số chẵn liên tiếp hơn [kém] nhau 2 đơn vị.
- Hai số lẻ liên tiếp hơn [kém] nhau 2 đơn vị.
5. Tia số:
- Số 0 ứng với điểm gốc của tia số.
- Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số.
6. Trong hệ thập phân có mười đơn vị hàng sau gộp thành một đơn vị ở hàng
liền trước.
Ví dụ: 10 đơn vị = 1 chục; 10 chục = 1 trăm; 10 trăm = 1 nghìn.
7. Để đọc hay viết các số tự nhiên người ta tách số thành lớp và hàng.
- Cứ ba hàng tạo thành một lớp, mỗi chữ số ứng với một hàng.
- Lớp đơn vị gồm các hàng: đơn vị, chục, trăm.
- Lớp nghìn gồm các hàng: đơn vị, chục nghìn, trăm nghìn.
- Lớp triệu gồm các hàng: triệu, chục triệu, trăm triệu.
- Lớp tỉ gồm các hàng: tỉ, chục tỉ, trăm tỉ.
8. Muốn đọc số tự nhiên ta làm như sau:
- Tách số cần đọc thành từng lớp theo thứ tự từ phải sang trái, mỗi lớp có 3 chữ số.
- Đọc từ trái sang phải theo lớp [dựa vào cách đọc số có ba chữ số] kèm theo tên lớp [trừ tên lớp đơn vị].
- Lớp nào, hàng nào không có đơn vị thì có thể không cần đọc [đối với hàng chục ở các lớp đọc là “linh” hoặc “lẻ”].
Ví dụ: 75 604 305 đọc là: Bảy mươi lăm triệu sáu trăm linh bốn nghìn ba trăm lẻ năm.
9. Viết số tự nhiên có nhiều chữ số nên viết lớp nọ cách lớp kia một khoảng
cách lớn hơn khoảng cách giữa hai chữ số trong cùng một lớp.
Ví dụ: Năm triệu không trăm bảy tư nghìn hai trăm ba tư: 5 074 234. Khi viết các số có nhiều hơn một chữ số, trong đó ít nhất có một chữ số chưa biết, cần phải có dấu “gạch ngang” trên đầu số đó.
* Phép chia số tự nhiên
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. a : b = c [số bị chia : số chia = thương]
- Muốn tìm số bị chia chưa biết, ta lấy thương nhân với số chia [số bị chia = số chia thương].
- Muốn tìm số chia chưa biết, ta lấy số bị chia chia cho thương [số chia = số bị chia : thương].
2. – Bất kỳ số nào chia cho 1 cũng bằng số đó [a : 1 = a]
– Một số chia cho chính nó thì bằng 1 [a : a = 1]
3. Số 0 chia hết cho bất kỳ số nào khác 0 đều bằng 0: 0 : a = 0.
4. Nếu gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương không đổi.
a : b = c
[a x m] : [b x m] = c [m khác 0]
5. Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.
[a + b] : c = a : c + b : c.
6. Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : [b x c] = a : b : c = a : c : b [b và c khác 0].
7. Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó [nếu chia hết] rồi nhân kết quả với thừa số kia.
[a x b] : c = a : c x b = a x [b : c] [với c khác 0].
8. Muốn chia một số chẵn chục, chẵn trăm, chẵn nghìn…cho 10, 100, 1000,…ta chỉ việc bỏ bớt đi một, hai, ba,…chữ số 0 tận cùng bên phải số đó.
9. Phép chia có dư:
a : b = c dư r [b khác 0 và r < c].
- Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng với số dư : a = c x b + r
- Muốn tìm số chia trong phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ đi số dư rồi chia cho thương : [a - r] : c = b
- Trong phép chia có dư, số dư lớn nhất kém số chia một đơn vị.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Một xe tải chuyển gạch. Chuyến thứ nhất chuyển được 1753 viên gạch, chuyến thứ hai chở được 1743 viên, chuyến thứ ba chở được 1820 viên. Hỏi trung bình mỗi chuyến xe chở được bao nhiêu viên gạch?
Lời giải
Cả ba chuyến chở được số viên gạch là:
1753 + 1743 + 1820 = 5316 [viên]
Trung bình mỗi chuyến xe chở được số viên gạch là:
5316 : 3 = 1772 [viên]
Đáp số: 1772 viên gạch.
Ví dụ 2: Một của hàng có 48 bao gạo, mỗi bao gạo nặng 50 kg. Cửa hàng đã bán được 1/3 số gạo đó. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Lời giải
Trước khi bán, cửa hàng có số gạo là:
50 x 48 = 2400 [kg].
Số gạo cửa hàng đã bán đi là:
2400 : 3 = 800 [kg].
Số gạo còn lại của cửa hàng là:
2400 – 800 = 1600 [kg].
Đáp số: 1600 kg gạo.
* Phép nhân số tự nhiên
A. LÝ THUYẾT
1. a x b = c [thừa số x thừa số = tích]
- Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Ví dụ 1: a x 3 = 15
a = 15 : 3
a = 5.
Ví dụ 2: 8 x b = 24
b = 24 : 8
b = 3
2. Tính chất giao hoán
Khi đổi chỗ các thừa số trong tích thì tích đó không đổi.
a x b = b x a
3. Tính chất kết hợp
Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích số thứ hai và số thứ ba.
[a x b] x c = a x [b x c]
4. Bất cứ số nào nhân với 0 cũng bằng 0.
a x 0 = 0
5. Bất cứ số nào nhân với 1 cũng bằng chính nó.
a x 1 = a.
6. Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng kết quả lại :
a x [b + c] = a x b + a x c.
7. Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể nhân số đó với số bị trừ, nhân số đó với số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau.
a x [b - c] = a x b – a x c.
8. Muốn nhân một số tự nhiên với 10; 100; 1000;… ta chỉ việc thêm vào bên phải số đó một, hai, ba… chữ số 0.
9. Nếu gấp một thừa số lên bao nhiêu lần thì tích gấp lên bấy nhiêu lần.
a x b = c
a x [b x m] = c x m
10. Trong phép nhân, nếu ta thêm hoặc bớt ở một thừa số bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên thừa số kia thì tích sẽ tăng lên hoặc giảm đi bấy nhiêu lần thừa số còn lại.
a x b = c
[a + m] x b = c + m x b
[a - n] x b = c – n x b
11. Một số cách tính nhân nhẩm trên số tự nhiên :
a] Nhân nhẩm với 5, 50, 25, 250 và 125
- Muốn nhân nhẩm một số với 5, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu chia cho 2.
- Muốn nhân nhẩm một số với 50, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi đem chia cho 2.
- Muốn nhân nhẩm một số với 25 ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu đem chia cho 4.
- Muốn nhân nhẩm một số với 250 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu rồi đem chia cho 4.
- Muốn nhân nhẩm một số với 125 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu chia cho 8.
b] Nhân nhẩm với 9 và 99
- Muốn nhân nhẩm một số với 9, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi trừ đi chính số đó.
- Muốn nhân nhẩm một số với 99, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi trừ đi chính số đó.
c] Nhân nhẩm với 11
- Muốn nhân nhẩm một số với 11, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi cộng với chính số đó.
- Muốn nhân nhẩm một số có hai chữ số với 11:
+] Nếu tổng hai chữ số của số đó nhỏ hơn 10 ta chỉ việc cộng hai chữ số này, được bao nhiêu ta viết xen vào giữa hai chữ số đó.
Ví dụ: 35 x 11 = 385
Cách làm: Ta lấy 3 + 5 = 8, viết xen 8 vào giữa 3 và 5.
+] Nếu tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 9, ta cộng hai chữ số này lại, được bao nhiêu ta viết hàng đơn vị của tổng này vào giữa hai chữ số của số đó và nhớ 1 vào hàng chục [cộng thêm 1 vào hàng chục của số đó].
Ví dụ: 87 x 11 = 935
Cách làm: Ta lấy 8 + 7 = 15, viết 5 vào giữa 8 và 7 và lấy 1 + 8 = 9 được số 935.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tính bằng cách thuận tiện:
a] 5 x 217 x 2 c] 1279 x 25 x 4
b] 8 x 313 x 125 d] 125 x 217 x 8
Lời giải
a] 5 x 217 x 2 = 5 x 2 x 217 = 10 x 217 = 2170
b] 8 x 313 x 125 = 8 x 125 x 313 = 1000 x 125 = 125000
c] 1279 x 25 x 4 = 1279 x 100 = 127900
d] 125 x 217 x 8 = 125 x 8 x 217 = 1000 x 217 = 217000
Ví dụ 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a] 2157 x 39 + 2157 x 61 c] 4734 x 52 + 48 x 4734
b] 7529 x 123 – 7529 x 23 d] 834 x 217 – 117 x 834
Lời giải
a] 2157 x 39 + 2157 x 61 = 2157 x [39 + 61]
= 2157 x 100 = 215700
b] 7529 x 123 – 7529 x 23 = 7529 x [123 - 23]
= 7529 x 100 = 752900
c] 4734 x 52 + 48 x 4734 = 4734 x [52 + 48]
= 4734 x 100 = 473400
d] 834 x 217 – 117 x 834 = 834 x [217 - 117]
= 834 x 100 = 83400
Ví dụ 3: Tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất. Tìm thừa số thứ hai.
Lời giải:
Vì tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất nên thừa số thứ hai chính là 7.
* Thứ tự các số thập phân
Ở giữa hai số thập phân có vô số số thập phân khác.
VD: Giữa 1,2 và 1,3 có vô số số thập phân khác:
Chẳng hạn: 1,2 < 1,21 < 1,211 < 1,212 < 1,2121…< 1,3.