Đề bài
Câu 1.
a.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 4x\] .
b.Tìm các giá trị của m để phương trình \[\left| x \right|\left[ {x + 4} \right] + m = 0\] có ba nghiệm phân biệt.
Câu 2.
a.Giải và biện luận phương trình \[\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right|\] .
b.Xác định m để phương trình\[\dfrac{{2x - m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} - 4\sqrt {x - 1} = \dfrac{{x - 2m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\]có nghiệm.
Câu 3. Cho phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 4m - 3 = 0{\rm{ [1]}}\] .
a.Chứng minh rằng phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b.Xác định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện \[x_1^2 + x_2^2 = 14\] .
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a. Xét hàm số \[y = {x^2} + 4x\].
Tập xác định \[\mathbb R\]
Đồ thị parabol có
+ Đỉnh \[I[-2;-4]\]
+ Trục đối xứng \[x= -2\]
+ Cắt Oy tại \[[0;0]\], cắt Ox tại \[[0;0]\] và \[[-4;0].\]
Bảng biến thiên
Đồ thị
b.Ta có \[\left| x \right|\left[ {x + 4} \right] + m = 0\]
\[\Leftrightarrow \left| x \right|\left[ {x + 4} \right] = - m\] .
Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = \left| x \right|\left[ {x + 4} \right]\] và đường thẳng y= -m.
Ta có
\[y = \left| x \right|\left[ {x + 4} \right]\]\[\; = \left\{ \matrix{ {x^2} + 4x{\rm{ \text{ khi } x}} \ge {\rm{0 }} \hfill \cr {\rm{ - }}\left[ {{x^2} + 4x} \right]{\rm{\text{ khi }x < 0}} \hfill \cr} \right.\].
Suy ra đồ thị hàm số này gồm phần đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 4x\] khi \[x \ge 0\] và phần đối xứng với đồ thị này qua trục Ox khi \[x 0 \Leftrightarrow x > 1.\]
Với điều kiện xác định đó thì phương trình tương đương
\[2x + m + 1 - 4\left[ {x - 1} \right] = x - 2m + 1 \]
\[\Leftrightarrow 3x = 3m + 4 \]
\[\Leftrightarrow x = \dfrac{3m + 4}{ 3}\] .
Phương trình đã cho có nghiệm khi nghiệm trên thỏa mãn điều kiện \[x> 1\]
\[\dfrac{{3m + 4}}{3} > 1 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{3}\]
Kết luận: Phương trình có nghiệm khi\[m > - \dfrac{1}{3}\]
Câu 3.
a. Xét phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 4m - 3 = 0{\rm{ [1]}}\].
Ta có \[\Delta ' = {\left[ {m + 1} \right]^2} - \left[ {4m - 3} \right] \]\[\,= {m^2} - 2m + 4 = {\left[ {m - 1} \right]^2} + 3 > 0,\forall m\] .
Vậy phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b.Theo định lí Viet \[{x_1} + {x_2} = 2\left[ {m + 1} \right],{x_1}{x_2} = 4m - 3\] .
Suy ra \[x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} \]\[\,= 4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 2\left[ {4m - 3} \right] = 4{m^2} + 10\] .
Do đó: \[x_1^2 + x_2^2 = 14 \Leftrightarrow 4{m^2} + 10 = 14\]
\[\Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\]