Đề bài
Chọn phương án đúng
Câu 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Độ dài của véctơ \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \] là
A.2a
B.\[{{a\sqrt 3 } \over 2}\]
C.a
D.\[a\sqrt 3 \]
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Độ dài của véctơ \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \] là
A.\[2\sqrt 3 \]
B.10
C.\[4\sqrt {13} \]
D.16
Câu 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3. Gọi I là trung điểm của BC. Độ dài véctơ \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {IC} \] là
A.\[\dfrac{3 }{ 2}\]
B. \[\dfrac{3\sqrt 7 } {2}\]
C.\[2\sqrt 3 \]
D.\[\dfrac{9 }{ 2}\]
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15. Gọi G là trọng tâm. Độ dài của véctơ \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \] là
A.10 B.5
C.15 D.20
Câu 5. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tìm mệnh đề sai
A.\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {MN} \]
B. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {MN} \]
C.\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {MN} \]
D. \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {NM} \]
Câu 6. Cho lục giác ABCDEF. Tìm mệnh đề đúng
A.\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CD} \]
B.\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CE} \]
C.\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CF} \]
D.\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]
Câu 7. Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm OA, OB . Tìm mệnh đề đúng
A.\[\overrightarrow {MN} = \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {OB} \]
B. \[\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {OA} \]
C. \[\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} - \dfrac{1 }{2}\overrightarrow {OB} \]
D.\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \]
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm mệnh đề sai
A.\[\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} \]
B.\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {CD} \]
C.\[\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} \]
D.\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {BD} \]
Câu 9. Cho hình bình hành ABCD và \[AB'C'D'\] có chung đỉnh A. Tìm mệnh đề đúng
A.\[BCC'B'\] là hình bình hành
B.\[\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {DD'} \]
C.\[C{\rm{DD}}'C'\] là hình bình hành
D.\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \]
Câu 10. Tam giác ABC là tam giác gì nếu thỏa mãn điều kiện \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\] ?
A.Vuông B. Cân
C. Đều D. Nhọn
Lời giải chi tiết
Câu 1.D
Gọi M là trung điểm AC. Khi đó \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \] .
Mà \[BM = \dfrac{a\sqrt 3 } { 2}\] . Do đó \[\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {BM} } \right| = 2BM = a\sqrt 3 \] .
Câu 2.C
Gọi M là trung điểm AC.
Khi đó \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \]\[\,= 2\overrightarrow {BM} \] .
Mà \[BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {36 + 16} \]\[\,= 2\sqrt {13} \] .
Do đó \[\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {BM} } \right| = 2BM \]\[\,= 4\sqrt {13} \] .
Câu 3.B
Gọi M là trung điểm AI.
Theo Pitago ta có:
\[AI = \sqrt {A{C^2} - I{C^2}} \]\[ = \sqrt {{3^2} - {{\left[ {\frac{3}{2}} \right]}^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \]
\[\Rightarrow MI = \frac{1}{2}AI = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\]
Khi đó \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CI} = 2\overrightarrow {CM} \] .
Mà \[CM = \sqrt {C{I^2} + M{I^2}} \]\[\;= \sqrt {{{\left[ {\dfrac{3}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right]}^2}} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{4}\].
Vậy \[\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CM} } \right| = 2CM = \dfrac{3\sqrt 7 }{ 2}\] .
Câu 4.B
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \] .
Mà \[GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{6}BC = \dfrac{{15}}{6} = \dfrac{5}{2}\].
Do đó \[\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM = 5\] .
Câu 5.A
Ta có
\[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \]
\[= \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \]
\[= 2\overrightarrow {MN} + \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right] \]
\[= 2\overrightarrow {MN} \]
Suy ra [B] là mệnh đề đúng.
Tương tự
\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \]
\[= \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \]
\[ = 2\overrightarrow {MN} + \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right]\]
\[= 2\overrightarrow {MN} \]
Vậy [C] là mệnh đề đúng.
Cũng vậy:
\[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BD} \]\[\,= \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} - \left[ {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right]\]
\[ = 2\overrightarrow {MN} + \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right] + \left[ {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right]\]\[ = 2\overrightarrow {MN} \]
Do đó [D] là mệnh đề đúng.
Câu 6.D
\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \]
\[= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} \]
\[ = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} \]
Chú ý kết quả đúng khi thứ tự các điểm đầu được giữ nguyên, chỉ hoán vị vòng quanh các điểm cuối.
Câu 7.B
Ta có \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = {1 \over 2}\overrightarrow {OB} - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \] .
Vậy [B] đúng.
Câu 8.C
Hiển nhiên \[\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} \] .
Mặt khác
\[\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} \cr&= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GB} \cr & {\rm{ }} = \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \cr} \] .
Tương tự \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GD} \]\[\,= \overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {BD} \] .
Vậy [A], [B], [D] là các mệnh đề đúng
Câu 9.B
Ta có:
\[\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {DD'} \]
\[\;= \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AD} \]
\[\eqalign{ & = \left[ {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} } \right] - \left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right] \cr & = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CC'} \cr} \] .
Câu 10.A
Vẽ hình bình hành ABDC.
Ta có \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \] .
Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| \]\[\,\Leftrightarrow AD = CB \Leftrightarrow ABDC\] là hình chữ nhật.
Vậy ABC là tam giác vuông tại A.