Đề bài
Cho đường tròn [O] có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi [I], [K] theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a] Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: [I] và [O], [K] và [O], [I] và [K].
b] Tứ giác AEHF là hình gì ? vì sao ?
c] Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d] Dây AD vuông góc với BC tại vị trí nào thì EF có độ dài lớn nhất ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Xét khoảng cách giữa hai tâm và tổng hoặc hiệu hai bán kính rồi xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b] Chứng minh tứ giác có ba góc vuông dựa vào kiến thức : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
c] Dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : \[{h^2} = b'.c'\]
d] Ta cần chứng minh \[KF \bot EF\] và \[IE \bot EF.\]
e] Biểu diễn độ dài \[EF\] theo độ dài của \[AD\] rồi biện luận để tìm vị trí của dây đó vuông góc với \[BC\].
Lời giải chi tiết
a] Đường tròn \[\left[ I \right]\] có bán kính là \[BI.\]
Đường tròn \[\left[ O \right]\] có bán kính là \[OB.\]
Ta có \[OI = OB - BI\] nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
- Đường tròn \[\left[ K \right]\] có bán kính là \[KC.\]
Đường tròn \[\left[ O \right]\] có bán kính là \[OC.\]
Ta có \[OK = OC - KC\] nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
- Đường tròn \[\left[ I \right]\] có bán kính là \[IH.\]
Đường tròn \[\left[ K \right]\] có bán kính là \[HK.\]
Ta có \[IK = IH + HK\] nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
b] \[\widehat {BAC} = {90^o}\] vì tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AB.\]
\[\widehat {AEH} = {90^o}\] vì \[HE \bot AB,\widehat {AFH} = {90^o}\]vì \[HE \bot AC.\]
Tứ giác \[AEHF\] có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
c] Tam giác \[AHB\] vuông tại \[H,\] đường cao \[AH\] nên \[AE.AB = A{H^2}{\rm{ }}\left[ 1 \right]\]
Tam giác \[AHC\] vuông tại \[H,\] đường cao \[AH\] nên \[AF.AC = A{H^2}{\rm{ }}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[AE.AB = AF.AC\]
d] Ta cần chứng minh \[KF \bot EF\] và \[IE \bot EF.\]
Gọi \[G\] là giao điểm của \[AH\] và \[EF,\] ta có \[AEHF\] là hình chữ nhật [theo câu b], do đó \[GH = GA;GF = GE,\] mà \[AH = EF\] nên \[GH = GF,\] suy ra \[\widehat {GFH} = \widehat {GHF}{\rm{ }}\left[ 3 \right]\]
Tam giác \[KHF\] cân tại \[K\] nên \[\widehat {KFH} = \widehat {KHF}{\rm{ [4]}}\]
Từ [3] và [4] suy ra \[\widehat {GFH} + \widehat {KFH} = \widehat {GHF} + \widehat {KHF},\] tức là \[\widehat {GFK} = \widehat {AHK}.\]
Ta lại có \[\widehat {AHK} = {90^o}\] nên \[\widehat {GFK} = {90^o}.\]
Đường thẳng \[EF\] vuông góc với bán kính \[FK\] tại \[F\] nên \[EF\] là tiếp tuyến của \[\left[ K \right].\]
Chứng minh tương tự, \[EF\] là tiếp tuyến của \[\left[ I \right].\]
Vậy \[EF\] là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \[\left[ I \right]\] và \[\left[ K \right].\]
e] Theo tính chất hình chữ nhật, \[EF = AH.\]
Đường kính \[BC\] vuông góc với dây \[AD\] nên \[AH = HD = \dfrac{1}{2}AD.\]
Suy ra \[EF = \dfrac{1}{2}AD.\]
Do đó \[EF\] lớn nhất \[ \Leftrightarrow AD\] lớn nhất. Ta có \[AD\] là dây của đường tròn \[\left[ O \right],\] do đó \[AD\] lớn nhất khi \[AD\] là đường kính , khi đó điểm \[H\] trùng với điểm \[O.\]
Vậy khi dây \[AD\] vuông góc với \[BC\] tại điểm \[O\] thì \[EF\] có độ dài lớn nhất.