Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau
|
(1) DẠNG 6. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN VỊ TRÍA – GHẾ DÀI Bài 1. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thànhmột dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9!. Gọi A là biến cố ''Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 ''. Ta mô tả ● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách. ● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học cách xếp 3 học sinh lớp 12. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 6!.A73. Vậy xác suất cần tính ( )37 6!. 5.9! 12 A A P A =W = = W Bài 2. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinhnữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang.Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau. Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 12 học sinh thành một hàng ngang.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=12!. Gọi A là biến cố ''Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà 2 học sinh nữ ● Đầu tiên xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có 8! cách. ● Sau đó xem 8 học sinh này như 8 vách ngăn nên có 9 vị trí để xếp 4 họcsinh nữ thỏa u cầu bài tốn (gồm 7 vị trí giữa 8 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có A94 cách xếp 4 học sinh nữ. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 8!.A94. Vậy xác suất cần tính ( )4 8! 14.12! 55 A A P A =W = = W Bài 3. Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XII Đảng Cộng Sản Việt Nam năm 2016 có 10 Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 10 đại biểu vào ghế dài 10 chổ trống.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=10!. Gọi M là biến cố ''Xếp 10 đại biểu trên vào dãy ghế dài 10 chổ trống sao cho A và ● Đầu tiên ta tính số trường hợp A ngồi cạnh B. (2) +) 1 phần tử AB và 8 phần tử còn lại (8đại biểu còn lại), tức tổng cộng là9 phần tử nên có 9! cách sắp xếp. Suy ra có 2.9! cách xếp A ngồi cạnh B. ● Tiếp theo ta tính số trường hợp A ngồi cạnh cả B và C. +) Ta xem bộ ABC như 1 phần tử, trường hợp này có 2 cách thỏa mãn là +) 1 phần tử ABC và 7 phần tử còn lại (7đại biểu còn lại), tức tổng cộnglà 8 phần tử nên có 8! cách sắp xếp. Suy ra có 2.8! cách xếp A ngồi cạnh cả B và C. Vậy xác suất cần tính P M ( )=WWM =2.9! 2.8!10!- =458 .Bài 4. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có 2 học sinh tên Thu vàNguyệt với 5 học sinh nam. Xếp 9 học sinh trong tổ thành một hàng dọc. Tính xác suấtđể chỉ có hai học sinh nữ Thu và Nguyệt đứng cạnh nhau cịn các học sinh nữ kháckhơng đứng cạnh nhau đồng thời cũng không đứng cạnh Thu và Nguyệt. Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh thành một hàng dọc.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9!. Gọi A là biến cố ''Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc sao cho 2 học sinh Thu vàNguyệt đứng cạnh nhau còn các học sinh nữ khác không đứng cạnh nhau đồng thời cũng không đứng cạnh Thu và Nguyệt''. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:● Đầu tiên ta xem 2 học sinh Thu và Nguyệt như 1 phần tử và 2 học sinh nữcòn lại là 2 phần tử, có tất cả 3 phần tử. Phần tử Thu và Nguyệt đứng cạnhnhau có 2 cách. ● Tiếp theo xếp 5 học sinh nam thành một hàng dọc, có 5! cách. ● Sau đó xem 5 học sinh nam này như 5 vách ngăn nên có 6 vị trí (gồm 4 vị Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 2.5!.A63. Vậy xác suất cần tính ( )36 2.5!. 5.9! 63 A A P A =W = = W Bài 5. Có 4 học sinh nam và 4 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 8 ghế xếpthành 2 dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho học sinh nam và học sinh nữ ngồi đốidiện nhau hoặc các học sinh nữ ngồi đối diện nhau. Lời giải Không gian mẫu là số cách xếp 8 học sinh ngồi vào 8 ghế bất kì.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=8!. Gọi A là biến cố ''Nam nữ ngồi đối diện nhau hoặc 2 bạn nữ ngồi đối diện nhau''. ● Trường hợp thứ nhất. Nam nữ ngồi đối diện nhau. +) Xếp 1 bạn nam vào 1 trong 8 ghế có 8 cách, sau đó chọn 1 bạn nữtrong 4 bạn nữ xếp vào ghế đối diện có 4 cách chọn. +) Tương tự xếp 1 bạn nam vào 6 ghế còn lại có 6 cách, chọn 1 bạn nữtrong 3 bạn nữ xếp vào ghế đối diện có 3 cách chọn.... (3) +) Xếp 1 bạn nữ vào 1 trong 8 ghế có 8 cách xếp, sau đó chọn 1 trong 3bạn nữ cịn lại xếp vào ghế đối diện có 3 cách chọn. +) Tiếp đến xếp 1 bạn nữ vào 1 trong 6 ghế còn lại có 6 cách, bạn nữ cịn lạibắt buộc phải ngồi ghế đối diện có 1 cách. +) 4 ghế trống cịn lại xếp 4 bạn nam vào, có 4! cách.Suy ra trong trường hợp này có 8.3.6.1.4! 3456= cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 9216 3456 12672+ = . Vậy xác suất cần tính ( )36 12672 11.8! 35 A P A =W = = W Bài 6. Trong một kì thi người ta bố trí 32 thí sinh vào một phòng học gồm 8 bàn học songsong với nhau, mỗi bàn xếp 4 thí sinh. Trong 32 thí sinh này có 16 thí sinh nam và 16 thísinh nhóm nữ. Tính xác suất để bất kỳ hai thí sinh ngồi cạnh nhau cũng như ngồi đốidiện trên và dưới với nhau thuộc hai giới tính khác nhau. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách xếp 32 thí sinh vào 32 vị trí.Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=32!. Gọi A là biến cố ''Bất kỳ hai thí sinh ngồi cạnh nhau cũng như ngồi đối diện trên và ● Nếu vị trí số 1 xếp thí sinh nam thì ta xếp 16 thí sinh nam vào các vị trí như (1) nam (2) nữ (3) nam (4) nữ(5) nữ (6) nam (7) nữ (8) nam(9) nam (10) nữ (11) nam (12) nữ(13) nữ (14) nam (15) nữ (16) nam(17) nam (18) nữ (19) nam (20) nữ(21) nữ (22) nam (23) nữ (24) nam(25) nam (26) nữ (27) nam (28) nữ(29) nữ (30) nam (31) nữ (32) nam● Tương tự nếu vị trí số 1 xếp thí sinh nữ thì có 16!.16! cách xếp. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 16!.16! 16!.16!+ . Vậy xác suất cần tính P A ( )=WWA =16!.16! 16!.16!32!+ =3005401951 »3,327.10 .-9Bài 7. Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con temgiống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao chokhơng có bì thư nào khơng có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thưtrên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 contem trên 3 bì thư. Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W= =3! 6. Gọi A là biến cố '' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dánvào nó''. Thế thì bì thư cịn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vàonó. Trường hợp này có 1 cách duy nhất. (4) Vậy xác suất cần tính P A ( )= WWA =16.Bài 8. Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lýgiống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cáchxếp thành một dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau. Lời giải Xếp 3 cuốn sách toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách ngăn, giữa ba cuốnsách tốn có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cợng có 4 vị trí trống. Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có C43 cách. Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Tốn có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cuốn Sinh, có C103 cách. Vậy theo quy tắc nhân có C C C =43. .73 103 16800 cách. Bài 9. Có 3 chiếc xe ôtô màu đỏ, 2 ôtô màu vàng, 1 ôtô màu xanh cùng đỗ bênđường. Tìm xác suất để khơng có 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau. Lời giải Không gian mẫu là số cách đỗ 6 chiếc xe bên đường tức là hoán vị của 6 chiếc xe.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=6!. Gọi A là biến cố ''Khơng có 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau''. Để tính các ● Trường hợp thứ nhất. Xe màu đỏ đỗ ở các vị trí I, III, V nên có 3! cách. Xemàu vàng và màu xanhh đỗ ở các vị trí cịn lại II, IV, VI nên cũng có 3! cách.Do đó trong tường hợp này có 3!.3! 36= cách. ● Trường hợp thứ hai. (như trường hợp thứ nhất) Xe màu đỏ đỗ ở các vị trí II, ● Trường hợp thứ ba. Xe màu đỏ đỗ ở các vị trí I, III, VI nên có 3! cách. Xe màu vàng và màu xanh nếu đỗ tùy ý ở các vị trí cịn lại thì có 3! cách ( )x - IV( )v- V( )v không thỏa mãn. Do đó trongtường hợp này có 3!. 3! 2 (-)=24 cách.● Trường hợp thứ tư. (như trường hợp thứ ba) Xe màu đỏ đỗ ở các vị trí I, IV,VI nên có 3! cách. Xe màu vàng và màu xanh nếu đỗ tùy ý ở các vị trí cịn lại thì có 3! cách ( )v- III( )v- V( )x khơng thỏa mãn. Do đó trongtường hợp này có 3!. 3! 2 (-)=24 cách.Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 36 24 36 24 120+ + + = . Vậy xác suất cần tính P A ( )=WWA =1206! =16.B – BÀN TRÒN (5) Lời giải Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế cịn lại từ 1 đến 9.Khơng gian mẫu là hốn vị 9 học sinh (cịn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu.Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9!. Gọi A là biến cố ''khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau''. Ta mô tả khả năng ● Đầu tiên ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.● Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra 6 ơ trống để ta xếp 4 học sinh nữ vào (mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 5!.A64. Vậy xác suất cần tính ( )46 5!. 5.9! 42 A A P A =W = = W Bài 11. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên thànhmột vịng trịn. Tính xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ. Lời giải Không gian mẫu là số cách xếp 14 người trên một vòng tròn. (14 1 ! 13!-)= .Gọi A là biến cố ''Xếp 14 người thành một vòng tròn mà thầy giáo xếp giữa hai học ● Bước 1. Ta cố định thầy giáo. ● Bước 2.Chọn lấy 2 học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C82 cách. ● Bước 3. Xếp 2 học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách. ● Bước 4. Cuối cùng xếp 11 người còn lại vào 11 vị trí cịn lại có 11! cách. Vậy xác suất cần tính ( )2 8.2!.11! 14. 13! 39 A C P A =W = = W Bài 12. Xung quanh bờ hồ hình trịn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4cây. Tính xác suất sao cho khơng có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Lời giải Không gian mẫu là số cách chặt 4 cây cau trong 17 cây cau. Gọi X là biến cố '' 4 cây cau bị chặt khơng có 2 cây nào kề nhau''. Để mô tả không ● Trường hợp thứ nhất. Cây A khơng bị chặt. Khi đó xét hàng cây gồm 16cây còn lại. Ta sẽ chặt 4 cây trong số 16 cây đó sao cho khơng có hai cây nào kềnhau bị chặt. Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa u cầu nói trên, lúc này hàng cây cịn lại 12 cây (không kể cây A). Việc phục hồi hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số cách làm này bằng với số cách đặt 4 cây vào 4trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây nên số cách chặt 4 cây ở trường hợpnày là C134. (6) hai phía cây A vừa chặt không được chặt. Xét hàng cây gồm 11 cây còn lại. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C134 +C123 =935. Vậy xác suất cần tính P A ( )=WWA =2380935 =1128.C – BÀI TỐN TOA TÀU Bài 13. Có 4 hành khách bước lên một đồn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập vớinhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa cịn lại khơng có ai. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu. Vì mỗi hành kháchcó 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=44. Gọi A là biến cố ''1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa cịn lại khơng có ai''. Để ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong ● Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C C43. .41 31. Vậy xác suất cần tính ( )3 1 14 4 3 4 4 . . 48 316 4 4 A C C C P A =W = = = W . Bài 14. Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suấtđể 3 người cùng đến quầy thứ nhất. Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 người khách vào 3 quầy. Vì mỗi người kháchcó 3 cách chọn quầy nên có 38 khả năng xảy ra. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=38. Gọi A là biến cố ''Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 người khách trong 8 người khách và cho đến ● Giai đoạn thứ hai. Cịn lại 5 người khách xếp vào 2 quầy. Mỗi người kháchcó 2 cách chọn quầy. Suy ra có 25 cách xếp. Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C83.25. Vậy xác suất cần tính ( )3 58 8 .2 1792 0,273.6561 3 A C P A =W = = W ; Bài 15. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016, một trường THPT ở miền núi có 9 họcsinh gồm 5 nam và 4 nữ cùng trúng tuyển vào khoa Toán của một trường Đại học. Sinhviên khoa Toán của trường Đại học này được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp (mỗi lớp cónhiều hơn 9 sinh viên). Tính xác suất để trong 4 lớp đó có một lớp đúng 3 sinh viênnam và đúng 2 sinh viên nữ đến từ trường THPT ở miền núi. (7) Không gian mẫu là số cách sắp xếp 9 sinh viên vào 4 lớp học. Vì mỗi sinh viên có 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=49. Gọi A là biến cố ''Một lớp có đúng 3 sinh viên nam và đúng 2 sinh viên nữ''. Để ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 sinh viên nam trong 5 sinh viên nam và chọn2 sinh viên nữ trong 4 sinh viên nữ. Sau đó chọn 1 lớp trong 4 lớp để bố trí cho những sinh viên vừa chọn vào. Do đó có C C C53. .42 41 cách. ● Giai đoạn thứ hai. Còn lại 4 sinh viên (2 nam và 2 nữ) được xếp vào 3 lớp Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C C53. . .342 14 4. Vậy xác suất cần tính ( )3 2 1 45 4 4 9 . . .3 1215 0,074.16384 4 A C C C P A =W = = W ; Bài 16. Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu, mỗi hành Lời giải Không gian mẫu là số cách sắp xếp 5 hành khách lên 3 toa tàu. Vì mỗi hành kháchcó 3 cách chọn toa nên có 35 cách xếp. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=35=234. Gọi A là biến cố '' 5 hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất 1 hành khách''. ● Trường hợp thứ nhất. Có 2 toa khơng có hành khách bước lên. +) Sau đó cả 5 hành khách lên toa cịn lại, có 1 cách. ● Trường hợp thứ nhất. Có 1 toa khơng có hành khách bước lên. +) Hai toa còn lại ta cần xếp 5 hành khách lên và mỗi toa có ít nhất 1 hành Do đó trường hợp này có C31.30 90= cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là W = +A 3 90 93= . Suy ra số phần tử của biến cố A là W = W- W =A A 234 93 150- = . |
