Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm lớp 10

A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)

( với điều kiện a2 + b2 – c > 0).

2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.

3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0.    B. x + y – 3 = 0    C. x – y – 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .

Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng

x – y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

A. (0; 0)    B. (1; 0)    C. (3; 2)    D. (1; 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0)

Vậy tâm I( 1; 1)

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

A. 5    B. 3    C. √6,25    D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x2 + y2 – 2x – y + 20 = 0    B. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20

C. x2 + y2 – 4x – 2y + 20 = 0    D. x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

Chọn C.

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0    B. x – y – 3 = 0    C. x + 2y – 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b)

Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng

x – y – 3 = 0

Chọn B.

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

Chọn C.

Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

A. x2 + y2 + 8x – 2y – 9 = 0    B. x2 + y2 – 3x – 16 = 0

C. x2 + y2 – x + y = 0    D. x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:

Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.

Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B.

Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C.

Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi I( a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1).
Tính a + b

A. -2    B. 0    C. 2    D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn ( C) cần tìm có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c= 0 (a2 + b2 – c > 0)

Do A, B , C thuộc đường tròn nên:

Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm – Toán 10 chuyên đề

Để viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, cách hay dùng nhất là ta lần lượt thay các giá trị các điểm này vào phương trình tổng quát của đường tròn, sau đó lập thành hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn. Giải hệ này thay các giá trị tìm được vào phương trình đường tròn, ta được kết quả. Cụ thể:

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. (*) (với điều kiện a2 + b2 – c > 0).

– Từ điều kiện bài toán: điểm A, B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A, B và C vào pt(*) ta được hệ ba phương trình bậc nhất với ẩn a; b; c.

– Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

– Goi (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.

– Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm  A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vì các điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C).

A thuộc (C) nên: 4 + 1 – 4a – 2b + c = 0 (1)

B thuộc (C) nên: 4+ 25 – 4a – 10b + c = 0 (2)

C thuộc (C) nên: 4 + 1 + 4a – 2b + c = 0 (3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: a = 0; b = 3 và c = 1

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng:

 x2 + y2 – 6y + 1 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

* Lời giải:

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0)

Vì 3 điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C) nên có:

Vậy PT đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2x – 2y – 8 = 0

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2)

* Lời giải:

– Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C):

 x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0)

Do ba điểm A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2) đều thuộc đường tròn, nên ta có:

Vậy đường tròn (C) cần tìm là: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

* Lưu ý: 1. Ở ví dụ trên, việc gọi phương trình đường tròn thay vì x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ta cũng có thể gọi pt đường tròn có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 và kết quả bài toán cũng không thay đổi.

2. Sau khi viết được phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, các em có thể xác định tâm của đường tròn, bán kính của đường tròn,… như vậy một số bài toán yêu cầu như: 

– Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm;

– Tâm của đường tròn qua 3 điểm có thuộc đường thẳng (d) cho trước?

– Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm

thì trước tiên, các em cần viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là một dạng toán cơ bản trong dạng toán về đường tròn. Bài giảng trước thầy đã gửi tới các bạn bài giảng viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, các bạn có thể xem qua. Để lập được phương trình đường tròn với dạng này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp làm dưới đây:

Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)

( với điều kiện a2 + b2 – c > 0).

2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.

3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

A. x2 + y2 + 8x – 2y – 9 = 0    B. x2 + y2 – 3x – 16 = 0

C. x2 + y2 – x + y = 0    D. x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:

Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.

Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B.

Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C.

Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

A. (0; 0)    B. (1; 0)    C. (3; 2)    D. (1; 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy tâm I( 1; 1)

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

A. 5    B. 3    C. √6,25    D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy bán kính R =

= √6,25

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x2 + y2 – 2x – y + 20 = 0    B. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20

C. x2 + y2 – 4x – 2y + 20 = 0    D. x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0    B. x – y – 3 = 0    C. x + 2y – 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b)

Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng

x – y – 3 = 0

Chọn B.

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

Ví dụ 8: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0.    B. x + y – 3 = 0    C. x – y – 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .

Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng

x – y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A.

🔢 GIA SƯ TOÁN