Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(, -) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: - bài 12 trang 84 sgk hình học 10 nâng cao

LG a

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \)có VTCP \((1;0)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \)nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\)qua P và vuông góc với \(\Delta \)có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)do đó Q là giao điểm của \(\Delta \)và \(\Delta '\), tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

Cách khác:

LG b

\(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u_{\Delta}}= \left( {3; - 4} \right)\). Đường thẳng \(\Delta '\)qua P và vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_{\Delta '}}= {u_{\Delta}}=\left( {3; - 4} \right)\)nên có phương trình tổng quát là:

\(\eqalign{
& 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)do đó Q là giao điểm của \(\Delta \)và\(\Delta '\), tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17=0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr 3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)

Cách khác:

LG c

\(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\Delta}} \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\)vuông góc với \(\Delta \)nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta '}} =\overrightarrow{n_{\Delta}}= \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\)qua P và vuông góc với \(\Delta \)có phương trình chính tắc là:

\({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)do đó Q là giao điểm của \(\Delta \)và\(\Delta '\), tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)