-Cho mình hỏi về cách làm bài toán về xác định số chiều và cơ sở trong không gian vector, cụ thể là bài tập sau: +Xác định số chiều và một cơ sở của không gian con $R^{4}$ sinh bởi các vecto sau: [1,1,-4,-3], [2,0,2,-2], [2,-1,3,2]-Mọi người vui lòng hướng dẫn cách trình bày dùm mình nha, mình cần nhất là cách làm về "xác đình số chiều và cơ sở", mình đang cần rất gấp vì sắp thi rồi , mong các bạn giúp đỡ, cám ơn rất nhiều!!!
Bạn đang xem: Tìm cơ sở và số chiều
#2hoangcuong12a3
hoangcuong12a3
Hạ sĩ
Thành viênXem thêm: Cách Vận Chuyển Chó Mèo Bằng Xe Khách Cần Lưu Ý Gì, Vận Chuyển Chó Mèo Bằng Xe Khách Cần Lưu Ý Gì
#3vo van duc
vo van duc
Thiếu úy
Điều hành viên Đại họcXem thêm: Các Tuyến Xe Khách Sài Gòn Hà Nội, Sai Gon To Ha Noi Bus Tickets
Bài toán cơ bản:Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp[v_{1},v_{2},..,v_{m}]$Cách giải:Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.Bước 3: Kết luận
Số chiều của U là rMột cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$............................................................................Bài toán tổng quát hơn là:Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp[u_{1},u_{2},..,u_{m}]$Cách giải:Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều [có số chiều bằng n] đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.+ Để xét $P_{n}=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ [a_{0},a_{1},...,a_{n}]:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$+ Để xét $M_{2}[\mathbb{R}]=\left \{ \bigl[\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr]:a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ [a,b,c,d]:a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp[u_{1},u_{2},..,u_{m}]$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp[v_{1},v_{2},..,v_{m}]$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trênVí dụ 1:Trong $P_{2}=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của$W=Sp[u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=2+6x+4x^{2},u_{3}=x+3x^{2}]$Giải:Xét ma trận:$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$Và $dimW=2$Ví dụ 2:Trong $M_{2}[\mathbb{R}]$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ
$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Giải:Ta có:$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$Và $dimW=3$
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!
1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không gian vecto
S={e1 + e2 ,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:
-
- S độc lập tuyến tính
- ∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen
Khi đó số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử
1.1Cơ sở chính tắc
- R3={a,b,c}
- [a,b,c]=a[1,0,0]+b[0,1,0]+c[0,0,1]
- S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}
- dim Rn=n
- có 3 vecto
- P2={a+bx+cx2}
- S={1,x,x2}
- dim Pn=n+1
- có 3 vecto
1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không
S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:
- S độc lập tuyến tính
- dim V= số phần tử S
a. S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}⊂R4
S có 3 phần tử mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở
b. S={[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]}⊂R3
số phần tử =dim R3 =3
Xét định thức:
> phụ thuộc tuyến tính
=> S không là sơ sở
c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}⊂P2
Số phần tử=dim P2 =3
Xét định thức:
=> độc lập tuyến tính
=> S là cơ sở
2.Toạ độ không gian vecto
3.Ma trận chuyển cơ sở S→T
Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S
Ví dụ: Trong không gian R3 cho 2 hệ cơ sở
S={ u1[1,1,1], u2[1,0,2], u3[1,2,1]}
T={ v1[2,3,2], v2[-1,1,4], v3[2,1,3]}
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T
Giải
Xét ma trận sau:
Giải hệ phương trình
ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1
Tương tự xét ma trận
Vậy ma trận cần tìm là
Bài tập cơ sở không gian vecto
1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không
a. u1[1,2], u2[3,4], u3[5,6] đối với R2
-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto
b. u1[1,2,3], u2[3,4,5], u3[4,5,6] đối với R3
-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto
c. u1[2,1], u2[3,0] đối với R2
Số phần tử dim R2 =2
Xét ma trận bổ sung
det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở