Lời đầu tiên, HOC247 xin cảm ơn các em học sinh đã tin tưởng và đồng hành cùng website hoc247.vn trong suốt thời gian vừa qua.
Vì mong muốn tạo điều kiện cho các em học sinh trên cả nước có thể tham gia học tập Online hoàn toàn miễn phí nên HOC247 chuyển toàn bộ các khoá học thu phí trên webiste hoc247.vn sang App HOC247 học miễn phí trên nền tảng iOS và Android.
Các em hãy cài đặt ngay App HOC247 để học tập hoàn toàn miễn phí các khoá học và luyện tập thư viện đề thi trắc nghiệm THPT QG.
Chuyên đề góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 35 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN 35 : GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Vấn đề 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
-Phương pháp: Để tìm góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ta thực hiện các bước sau:
①. Tìm $O = a \cap \left[ \alpha \right]$.
②. Lấy $A \in a$ và dựng $AH \bot \left[ \alpha \right]$ tại H. Khi đó $\left[ {a,\left[ \alpha \right]} \right] = \left[ {a,a’} \right] = \widehat {AOH}$.
③. Tính số đo của góc $\widehat {AOH}$
. Chú ý: ${0^0} \le [\widehat {a,[\alpha ]}] \le {90^0}$
Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng.
-Phương pháp:
Cho hai mặt phẳng $\left[ \alpha \right]\, \bot \,\,\left[ \beta \right]$ và $\left[ \alpha \right]\, \cap \,\,\left[ \beta \right] = \Delta $. Trong $\left[ \alpha \right]\,$vẽ đường thẳng $a \bot \Delta $ và trong $\left[ \beta \right]\,$ vẽ đường thẳng $b \bot \Delta $. Khi đó, ta có$\widehat {\left[ {\left[ \alpha \right]\,,\,\left[ \beta \right]} \right]} = \widehat {\left[ {a,b} \right]}$.
–Mô hình nhanh thường gặp.
Chú ý: Nếu $\Delta ABC$ đều thì I là trung điểm của BCCác bước xác định góc:
①. Tìm giao tuyến chung của hai mp
②. Từ chân đường cao kẽ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mp tại điểm I
③. Nối I về đỉnh S của chóp.
④. Xác định góc $\widehat {SIA}$
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: [Mức độ 1] Cho hình chóp $S.ABC$, có cạnh bên $SA \bot \left[ {ABC} \right]$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy là góc nào dưới đây?
A.$\widehat {SAC}$. B.$\widehat {SCA}$ hoặc $180^\circ – \widehat {SCA}$.
C.$\widehat {SCA}$. D.$\widehat {CSA}$.
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left[ {ABC} \right]$ là $AC$, cho nên:
$\left[ {SC,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {SC,AC} \right] = \widehat {SCA}$.
Câu 2: [Mức độ 1] Cho hình chóp $S.ABC$, có cạnh bên $SA \bot \left[ {ABC} \right]$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và đáy là góc nào dưới đây?
A.$\widehat {SAB}$. B.$\widehat {SBA}$ hoặc $180^\circ – \widehat {SBA}$.
C.$\widehat {SBA}$. D.$\widehat {BSA}$.
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left[ {ABC} \right]$ là $AB$, cho nên:
$\left[ {SB,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {SB,AB} \right] = \widehat {SBA}$.
Câu 3: [Mức độ 1] Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, cạnh bên $SA \bot \left[ {ABC} \right]$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left[ {SAB} \right]$ là góc nào dưới đây?
A.$\widehat {SCA}$. B.$\widehat {SBC}$. C.$\widehat {BSC}$. D.$\widehat {SCB}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAB} \right]$
Khi đó hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left[ {SAB} \right]$ là $SB$, cho nên:
$\left[ {SC,\left[ {SAB} \right]} \right] = \left[ {SC,SB} \right] = \widehat {BSC}$.
Câu 4: [Mức độ 1] Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Xác định góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$
A.$\widehat {A’CA}$. B.$\widehat {AA’C}$.
C.$\widehat {A’CA}$ hoặc $180^\circ – \widehat {A’CA}$. D.$\widehat {AA’C}$ hoặc $180^\circ – \widehat {AA’C}$
Lời giải
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của $A’C$ lên $\left[ {ABCD} \right]$ là $AC$, cho nên:
$\left[ {A’C,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {A’C,AC} \right] = \widehat {A’CA}$.
Câu 5: [Mức độ 1] Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Xác định góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$
A.$\widehat {A’CA}$. B.$\widehat {AA’C}$.
C.$\widehat {A’CA}$ hoặc $180^\circ – \widehat {A’CA}$. D.$\widehat {AA’C}$ hoặc $180^\circ – \widehat {AA’C}$
Lời giải
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của $A’C$ lên $\left[ {ABCD} \right]$ là $AC$, cho nên:
$\left[ {A’C,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {A’C,AC} \right] = \widehat {A’CA}$.
Câu 6: [Mức độ 2] Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
A. ${30^o}$. B. ${60^o}$. C. ${45^o}$. D. ${90^o}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi độ dài cạnh đáy bằng $a$.
Gọi $H$ là tâm của đáy $ \Rightarrow SH \bot \left[ {ABC} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left[ {ABC} \right]$ là $AH$ nên
$\left[ {SA,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {SA,AH} \right] = \widehat {SAH}$
Gọi $M$ là trung điểm của $ \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Trong tam giác vuông $SAH$ ta có: $\tan \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{AH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAH} = {60^0}$.
Câu 7: [Mức độ 2] Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = \sqrt 3 $ và $AA’ = 1$. Góc tạo bởi giữa đường thẳng $AC’$ và $\left[ {ABC} \right]$ bằng
A. $60^\circ $. B. $30^\circ $. C. $75^\circ $. D. $45^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của $AC’$ lên đáy là $\left[ {ABC} \right]$ là $AC$, cho nên
$\left[ {AC’,\,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {AC’,\,AC} \right] = \widehat {CAC’}$.
Trong tam giác vuông $ACC’$ ta có: $\tan \widehat {CAC’} = \frac{{CC’}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CAC’} = {30^0}$.
Câu 8: [Mức độ 2] Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left[ {ABC} \right]$ và $SA = a$. Đáy $ABC$ thỏa mãn $AB = a\sqrt 3 $. Tìm số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left[ {ABC} \right]$.
A. $60^\circ $. B. $30^\circ $. C. $45^\circ $. D. $90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của $SB$ lên đáy $\left[ {ABC} \right]$ là $AB$, nên
$\left[ {SB,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {SB,AB} \right] = \widehat {SBA}$
Trong tam giác vuông $SBA$ ta có: $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SBA} = 30^\circ $.
Câu 9: [Mức độ 2] Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ bằng:
A. $30^\circ $. B. $60^\circ $.
C. $45^\circ $. D. $\alpha $, với $\cot \alpha = \sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left[ {ABCD} \right]$ là $OA$, nên:
$\left[ {SA,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {SA,OA} \right] = \widehat {SAO}$
Ta có $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
$ \Rightarrow \cos \widehat {SAO} = \frac{{OA}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAO} = {45^0}$.
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = AD = 2$ và $AA’ = 2\sqrt 2 $ [tham khảo hình vẽ bên dưới].
Góc giữa đường thẳng $CA’$ và mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ bằng
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của $A’C$lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $AC$, cho nên:
$\left[ {AC’,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {AC’,AC} \right] = \widehat {ACA’}$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ABC$ ta có:
$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow AC = 2\sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông $ACA’$ có: $\tan \widehat {ACA’} = \frac{{AA’}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {ACA’} = 45^\circ $.
Vậy góc giữa đường thẳng $AC$ và đáy là $45^\circ $.
Câu 11: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Tính $\tan $ giữa đường thẳng $A’C$ và mặt đáy
A.$\sqrt 2 $. B.$\frac{1}{{\sqrt 2 }}$. C.$\sqrt 3 $. D.$\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng $1$.
Hình chiếu vuông góc của $A’C$lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $AC$, cho nên:
$\left[ {AC’,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {AC’,AC} \right] = \widehat {ACA’}$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ABC$ ta có:
$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \Rightarrow AC = \sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông $ACA’$ có: $\tan \widehat {ACA’} = \frac{{AA’}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Vậy $\tan $góc giữa đường thẳng $A’C$ và đáy là $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Câu 12: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Tính ${\mathop{\rm Cos}\nolimits} in$ giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $\left[ {ABB’A’} \right]$
A.$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$. B.$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$. C.$\sqrt 2 $. D.$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng $1$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {ABB’A’} \right] \Rightarrow $ hình chiếu vuông góc của $C$ lên $\left[ {ABB’A’} \right]$ là $B$
Hình chiếu vuông góc của $A’C$lên đáy $\left[ {ABB’A’} \right]$ là $A’B$, cho nên:
$\left[ {AC’,\left[ {ABB’A’} \right]} \right] = \left[ {AC’,A’B} \right] = \widehat {BA’C}$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ABA’$ ta có:
$A'{B^2} = A{B^2} + A{A’^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \Rightarrow A’B = \sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông $A’BC$ có: $\cos \widehat {BA’C} = \frac{{A’B}}{{A’C}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 13: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Tính ${\mathop{\rm Cos}\nolimits} in$ giữa đường thẳng $BD’$ và mặt phẳng đáy
A.$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$. B.$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$. C.$\sqrt 2 $. D.$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng $1$.
Hình chiếu vuông góc của $BD’$lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $BD$, cho nên:
$\left[ {BD’,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {BD’,BD} \right] = \widehat {DBD’}$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $BCD$ ta có:
$B{D^2} = B{C^2} + C{D^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \Rightarrow BD = \sqrt 2 $.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $BDD’$ ta có:
$B{D’^2} = B{D^2} + D'{D^2} = {\sqrt 2 ^2} + {1^2} = 3 \Rightarrow BD’ = \sqrt 3 $.
Trong tam giác vuông $ACA’$ có: $\cos \widehat {DBD’} = \frac{{BD}}{{BD’}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\tan $góc giữa đường thẳng $A’C$ và đáy là $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2$ và cạnh bên bằng $2\sqrt 2 $. Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $O$ là tâm của đáy $ \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên đáy là $OC$, cho nên:
$\left[ {SC,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {SC,OC} \right] = \widehat {SCO}$
Ta có $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông $SCO$ ta có: $\cos \widehat {SCO} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SCO} = 60^\circ $.
Vậy góc giữa cạnh bên và đáy bằng $60^\circ $.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\sqrt 6 $ và cạnh bên bằng $2$. Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn A
Gọi $O$ là tâm của đáy $ \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên đáy là $OC$, cho nên:
$\left[ {SC,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {SC,OC} \right] = \widehat {SCO}$
Ta có $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {6 + 6} = \sqrt 3 $.
Trong tam giác vuông $SCO$ ta có: $\cos \widehat {SCO} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {SCO} = 30^\circ $.
Vậy góc giữa cạnh bên và đáy bằng $30^\circ $.
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\sqrt 6 $ và cạnh bên bằng $2$. Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left[ {SAC} \right]$ bằng
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $O$ là tâm của đáy $ \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left[ {SAC} \right]$
Do đó hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\left[ {SAC} \right]$ là $O$
Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên đáy là $OC$, cho nên:
$\left[ {SB,\left[ {SAC} \right]} \right] = \left[ {SB,SO} \right] = \widehat {BSO}$
Ta có $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {6 + 6} = \sqrt 3 $.
Trong tam giác vuông $SCO$ ta có: $\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {BSO} = 60^\circ $.
Vậy góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left[ {SAC} \right]$ bằng $60^\circ $.
Câu 17: Cho lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng đáy
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của $A’C$ lên đáy $\left[ {ABC} \right]$ là $AC$, cho nên
$\left[ {A’C,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {A’C,AC} \right] = \widehat {A’CA}$.
Trong tam giác vuông $A’AC$ ta có: $\tan \widehat {A’CA} = \frac{{AA’}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {A’CA} = 60^\circ $.
Vậy góc giữa $A’C$ và đáy bằng $60^\circ $.
Câu 18: [Mức độ 2] Cho lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng đáy
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của $A’M$ lên đáy $\left[ {ABC} \right]$ là $AM$, cho nên
$\left[ {A’M,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {A’M,AM} \right] = \widehat {A’MA}$.
$AM$ là đường cao của tam giác đều cạnh $2a$ nên $AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}2a = \sqrt 3 a$.
Trong tam giác vuông $A’AM$ ta có: $\tan \widehat {A’MA} = \frac{{AA’}}{{AM}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {A’CA} = 30^\circ $.
Vậy góc giữa $A’C$ và đáy bằng $30^\circ $.
Câu 19: [Mức độ 2] Cho lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A’C’$ và $N$ là trung điểm của $BC$.Tính góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng đáy
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $P$ là trung điểm của $AC$, khi đó hình chiếu vuông góc của $MN$ lên đáy $\left[ {ABC} \right]$ là $PN$, cho nên:
$\left[ {MN,\left[ {ABC} \right]} \right] = \left[ {MN,PN} \right] = \widehat {MNP}$.
$PN$ là đường trung bình của $\Delta \,ABC$ nên $PN = \frac{1}{2}AB = a$ và $MP = AA’ = a$
Trong tam giác vuông $MNP$ ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{PN}} = 1 \Rightarrow \widehat {MNP} = 45^\circ $.
Vậy góc giữa $MN$ và đáy bằng $45^\circ $.
Câu 20: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$ và $SA = a\sqrt 6 $. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính góc giữa đường thẳng $BM$ và $\left[ {ABCD} \right]$
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $O$ là tâm của đáy.
Vì $MO$ song song với $SA$, mà $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$ nên $MO \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $BM$ lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $BO$, cho nên
$\left[ {BM,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {BM,BO} \right] = \widehat {MBO}$.
$MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MO = \frac{1}{2}SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Ta có $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Trong tam giác vuông $BMO$ ta có: $\tan \widehat {BMO} = \frac{{MO}}{{BO}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {BMO} = 60^\circ $.
Vậy góc giữa $BM$ và đáy bằng $60^\circ $.
Câu 21: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, biết $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$ và $SA = a\sqrt 5 $. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa đường thẳng $CM$ và $\left[ {ABCD} \right]$
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $AB$.
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN = \frac{1}{2}SA = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$ đồng thời $MN \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $CM$ lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $CN$, cho nên
$\left[ {CM,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {CM,CN} \right] = \widehat {MCN}$.
Ta có $N{C^2} = B{C^2} + B{N^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow CN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
Trong tam giác vuông $CMN$ ta có: $\tan \widehat {MCN} = \frac{{MN}}{{NC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = 1 \Rightarrow \widehat {MCN} = 45^\circ $.
Vậy góc giữa $CM$ và đáy bằng $45^\circ $.
Câu 22: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2$, biết $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$ và $SA = 2\sqrt 5 $. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính góc giữa đường thẳng $BM$ và $\left[ {ABCD} \right]$
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $AB$.
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN = \frac{1}{2}SA = \sqrt 5 $ đồng thời $NP \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $BM$ lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $BN$, cho nên
$\left[ {BM,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {BM,BN} \right] = \widehat {MBN}$.
Ta có $B{N^2} = A{B^2} + A{N^2} = {2^2} + {1^2} = 5 \Rightarrow BN = \sqrt 5 $
Trong tam giác vuông $CMN$ ta có: $\tan \widehat {MBN} = \frac{{MN}}{{BN}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 1 \Rightarrow \widehat {MBN} = 45^\circ $.
Vậy góc giữa $BM$ và đáy bằng $45^\circ $.
Câu 23: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, biết $SA \bot \left[ {ABCD} \right]$ và $SA = 2a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là là trung điểm của $BC,\,SD$. Tính góc giữa đường thẳng $MN$ và $\left[ {ABCD} \right]$
A.$30^\circ $. B.$45^\circ $. C.$60^\circ $. D.$90^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $P$ là trung điểm của đoạn $AD$.
$NP$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $NP = \frac{1}{2}SA = a$ đồng thời $NP \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $MN$ lên đáy $\left[ {ABCD} \right]$ là $MP$, cho nên
$\left[ {MN,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {MN,MP} \right] = \widehat {PMN}$.
Trong tam giác vuông $MNP$ ta có: $\tan \widehat {PMN} = \frac{{NP}}{{MP}} = \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {PMN} = 45^\circ $.
Vậy góc giữa $MN$ và đáy bằng $45^\circ $.
Câu 24: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.$\tan \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{3}$. B.$\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$. C.$\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$. D.$\tan \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow SH \bot \left[ {ABCD} \right]$.
Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ là $HC$, cho nên:
$\left[ {SC,\left[ {ABCD} \right]} \right] = \left[ {SC,HC} \right] = \widehat {SCH}$.
Ta có
$SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {A{B^2} – \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
Trong tam giác vuông $SHC$ ta có:
$\tan \alpha = \tan \widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{7}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{7}$.