Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD
Video hướng dẫn giải
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:
LG a
\[\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}[x+1]\sin xdx\]
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {x + 1} \right]\sin xdx} \\= \left. { - \left[ {x + 1} \right]\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left[ {x + 1} \right]\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\end{array}\]
\[ = - \left[ {\frac{\pi }{2} + 1} \right]\cos \frac{\pi }{2} + \left[ {0 + 1} \right]\cos 0 \]\[+ \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0\]
\[=0+1+1-0=2\]
Quảng cáo
LG b
\[\int_{1}{e}x{2}\ln xdx\]
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx \\= \left. {\left[ {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left[ {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \= \ln e.\frac{{{e^3}}}{3} - \ln 1.\frac{{{1^3}}}{3} - \left[ {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{{{1^3}}}{9}} \right]\\ \= \frac{{{e^3}}}{3} - 0 - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\ \= \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\ \= \frac{1}{9}\left[ {2{e^3} + 1} \right] \end{array}\]
LG c
\[\int_{0}^{1}\ln[1+x]dx\];
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {1 + x} \right]\\dv = dx\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {1 + x} \right]\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\v = x\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \\= \left. {\left[ {x.\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left[ {x.\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left[ {x.\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\= \left. {\left[ {x.\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]} \right|_0^1 - \left. {\left[ {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^1\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \= 1.\ln \left[ {1 + 1} \right] - 0.\ln \left[ {0 + 1} \right]\\ - \left[ {1 - \ln |1+1| - 0 + \ln |0+1|} \right]\\ \= \ln 2 - 1 + \ln 2\\ \= 2\ln 2 - 1 \end{array}\]
LG d
\[\int_{0}{1}[x{2}-2x-1]e^{-x}dx\]
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \]\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {2x - 2} \right]dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{x^2} - 2x - 1} \right]{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left[ {{x^2} - 2x - 1} \right]} \right|_0^1 \\+ 2\int\limits_0^1 {\left[ {x - 1} \right]{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left[ {{x^2} - 2x - 1} \right]} \right|_0^1 + 2{I_1}\\= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}\end{array}\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{ - x}}\end{array} \right. \]\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\].
\[\begin{array}{l}\Rightarrow {I_1} = \left. { - {e^{ - x}}\left[ {x - 1} \right]} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left[ {x - 1} \right]} \right|_0^1\left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^1\\= - 1 - \left[ {{e^{ - 1}} - 1} \right] =- {e^{ - 1}}\end{array}\].
Vậy \[I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} = - 1\].
Loigiaihay.com
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.