Bài tập toán về hằng đẳng thức đáng nhớ năm 2024

BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ LỚP 8

1. Lý thuyết

1. Bình phương của một tổng

- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ

nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.

[A + B]

2 = A

2 + 2AB + B

2

Ví dụ:  

2222 x 2  x 2.x 2   x 4x 4

2. Bình phương của một hiệu

- Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất

nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.

[A - B]

2 = A

2 - 2AB + B

2

Ví dụ:  

2222 x 1  x 2.x 1  x 2x 1

3. Hiệu hai bình phương

- Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.

A

2 - B

2 = [A + B][A – B]

Ví dụ:    

2 2 2 x   4 x 2  x 2 x 2

4. Lập phương của một tổng

- Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ

nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương

số thứ hai.

[A + B]

3 = A

3 + 3A

2 B + 3AB

2 + B

3

Vú dụ:  

3322332 x 1  x 3 .1 3.x    1 x 3x  3x 1

5. Lập phương của một hiệu

- Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhất

nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương số

thứ hai.

[A - B]

3 = A

3 - 3A

2 B + 3AB

2 - B

3

Ví dụ:  

x 1  x 3 .1 3.x    1 x 3x  3x 1

6. Tổng hai lập phương

- Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.

A

3 + B

3 = [A + B][A

2 - AB + B

2 ]

Ví dụ:   

3 3 3 2 x     8 x 2 x 2 x 2x 4

7. Hiệu hai lập phương

- Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.

A

3 - B

3 = [A – B][A

2 + AB + B

2 ]

Ví dụ:   

3 3 3 2 x   8 x 2  x 2 x  2x 4

1. Bài tập

Bài toán 1 : Tính

1.  

2 x 2y 11.

2 x 2y 2

      

2.  

2 2x 3y 12.

 

2 2x y

3.  

2 3x 2y 13.

2 3 x 3y 2

      

4.  

2 5x y 14.

 

2 2x 8y

2 1 x 4

      

2 1 x y 3 6

       

2 1 2x 2

      

2 1 x 4y 2

      

2 1 1 x y 3 2

      

x 2 x 2 2y 2y 2 2

          

8. 3x 1 3x 1     18. x 2  4 x  2  4 

2 2 2 2 x y x y 5 5

             

19.    

2 2 xy  x y

3 1 8x 8



1. y 14y  49

2 2 x 4xy 4y 17.

3 3 125x  64y

Bài toán 4 : Tính nhanh

1. 10012 6.

2 2 37 2.37 13

1. 29,9,1 7. 51, 7 2, 7,7 31,7  2
2. 2012 8. 20,1,
3. 37 9. 31,8 2 2,8,8 21,8 2
4. 1992 10. 33,3 2 2,3,3 3,3 2

Bài toán 5 : Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

1.    

2 x 10  x x 80 với x 0,98 5.

2 9x 42x 49 với x 1

2.    

2 2x 9  x 4x 31 với x16, 2 6.

2 1 2 25x 2xy y 25

  với

1 x , 5

 y 5

3. 4x 2 28x 49 với x 4 7.  

 

2 27  x 3 x  3x 9 với x 3

1. x 3 9x 2 27x 27 với x 5 8. x 3 3x 2  3x 1 với x 99

Bài toán 6 : Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai bình phương

2 2 x 10x 26 y  2y 6.

2 2 4x 2z  4zx 2z 1 

2 2

z  6z 13 t  4t 7. x y 4 x   y 4

2 2

x 2xy 2y  2y 1 8. x y 6 x     y 64. 4x 2 2z 2  4xz 2z 1  9. y 2z 3 y 2z 3      

2 2

4x 12x y  2y 8 10. x 2y 3z 2y 3z x      

Bài toán 7 : Tìm x, biết:

1. 25x 2  9 0 6.    

2 3 x 1 3x x 5  1

2.  

2 x 3  4 0 7.

       

2 2 6x 2  5x 2 4 3x 1 5x 2   0

1. x 2 2x 24 8.    

x 2  x x 6  4

4.      

2 x 4  x 1 x 1   16

      

2 x 1 x   x 1 x x 2 x 2   5

       

2 2 2x 1  x 3 5 x 7 x 7   0

      

322 x 1  x 3 x 3x 9 3 x  4  2

Bài toán 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. x 2  5x 7
2. x 2 20x 101
3. 4a 2  4a 2

2 2 x 4xy 5y 10x 22y 28 

1. x 2  3x 7

Bài toán 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1. 6x x 2  5

2 4x x  3

1. x x 2
2. 11 10x x  2

5. x 4 2   x 4

Bài toán 10 : Cho x y 5. Tính giá trị của các biểu thức

a]

2 2 P 3x 2x 3y 2y 6xy 100 

1.    

3 3 2 2 Q x  y 2x 2y 3xy x y 4xy 3 x  y 10

Bài toán 11 :

1. Cho x y 3 và

2 2 x  y 5. Tính

3 3 x y.

1. Cho x y 5 và

2 2 x  y 15. Tính

3 3 x  y.

Bài toán 12 : Cho x y 7.  Tính giá trị của các biểu thức:

1.  

3 3 2 2 M x 3xy x y  y  x 2xy y

1.      

2 2 Nx x 1  y y 1  xy 3xy x y 1   95

2

2

a]M 4x x 3

b]N x - x

c]P 2x 2x - 5

  



 

Bài 21 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

#######  

#######    

2 2

2 2

1 . ; 2 1 2

. 2 3 ; 0, 01

a x x

b x y xy

       

 

;

#######  

#######    

2 2

2 2

1 . ; 2 1 ; 2

. 2 3 ; 0, 01

c x x

d x y xy

       

 

   

     

. 1 1 ;

. 2 2 ; 56.

e x x

f x y x y

 

 

   

   

.. ;

..

g x y z x y z

h x y z x y z

   

   

Bài 22 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

2 2

2 2 2 2

.

. 1 2 3

am n

b x x x x



    

#######  

2

2

. 16 3

.64 16

c x

d y y

  

 

Bài 23 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

#######  

#######  

2

2

. 5 2

. 3 2

a x y

b x



 

2

2

2 1 . 3 3

5 . 2 2

c x y

d x y

      

      

2 2

2 2

4 . 3

5 . 2 3

e x y

f x y

      

      

Bài 24 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

#######  

#######    

3 3

3 3

1 . ; 2 1 ; 2

. 2 3 ; 0, 01

a x x

b x y xy

       

 

#######  

#######    

3 3

3 3

1 . ; 2 1 ; 2

. 2 3 ; 0, 01

c x x

d x y xy

       

 

2

2 2

. 1 1 ;

. 2 2 4

e x x x

f x y x xy y

  

  

   

 

2 2

2

. ; ;

.

g x y z x y z

h x y z

   

 

Bài 25 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

2 2 2 2

2 2

. 3 ; 2 10 ;

.

a xy m n

b a b a b

 

 

2 2

2 2

. 2 3 2 3 ;

. 2 3 2 3

c a a a a

d a a a a

   

   

2 2

. 2 3 2 3 ;

. 2 3 2 3

e a a a a

f a a a a

   

   

2 2

. 2 3 2 3 ;

. 2 2

g a a a a

h a a a a

     

 

Bài 26 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

2 2

3

.1, 24 0, 24

1 . 8 8

a

b x





2

2

1. 4 1. 4 c x x

d x x

 

 

Bài 27 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a.

4 2 4 2 2 4 x x a a b b  4 4; 9  24  16 b.

2 2 2 2 3 16 16 4 a b c d a x y  ; 27; 

c.

3 1 3 125; 64 ; 8

x    x d.

3 2 2 3 8 x x y xy y  60  150  125

Bài 28 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a.

2 4 4 2 9 30 25; 16 9

x x x x    b.

1222444 9 5 25

x y x y  

c.

2 2 2 2 a y b x axby   2 d.  

2 2 64 x a b  8 

1.  

2 100  3 x y  g. 27 x a b 3  3 3

Bài 29 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích

a.

3 2 27 x x x  27   3 1 b.

3 2 x x x  3   3 1

c.

13

27

 x d. 0, 001 1000 x 3

Bài 30 : Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh

1. 25

2 - 15

2 b. 205

5 - 95

2 c. 36

2 - 14

2

1. 950

2 - 850

2 e.

2 2 1, 24 2, 48, 24 0, 24

Bài 31 : viết biểu thức  

2 4 n  3  25 thành tích

chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức  

2 4 n  3  25 chia hết cho 8

Bài 32 : chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức  

2 2 n  3  9 chia hết cho 4

Bài 33 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3. Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

\= 2[y – 1]² – 5[y – 1] + 3 = 2[y² – 2y + 1] – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

1. 127² + 146 + 73²

1. 9

8 .

8 - [

4 - 1][

4 + 1]

1. 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² – 1²

1. [20² + 18² + 16² +...+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +...+ 3² + 1²]

Lời Giải

1. A = 127² + 146 + 73² = 127² + 2.73 + 73² = [127 + 73]² = 200² = 40000.

1. B = 9

8 .

8 - [

4 - 1][

4 + 1] = 18

8 - [

8 - 1] = 1

1. C = 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² – 1²

\= [100 + 99][100 – 99] + [98 + 97][98 – 97] +...+ [2 + 1][2 – 1]

\= 100 + 99 + 98 + 97 +...+ 2 + 1 = 5050.

1. D = [20² + 18² + 16² +...+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +...+ 3² + 1²]

\= [20² – 19²] + [18² – 17²] + [16² – 15²]+ ...+ [4² – 3²] + [2² – 1²]

\= [20 + 19][20 – 19] + [18 + 17][18 – 17] + [ 16 +15][16 – 15]+ ...+ [4 + 3][4 – 3] + [2 +

1][2 – 1]

\= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + ...+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

1. A = [2 + 1][

2 + 1][

4 + 1][

8 + 1][

16 + 1] và B = 2

32

1. A = 1989 và B = 1990

2

Lời Giải

1. Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = [2 – 1][2 + 1][

2 + 1][

4 + 1][

8 + 1][

16 + 1]

Ta áp dụng đẳng thức [ a- b][a + b] = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 2 - 1.

\=> Vậy A < B.

1. Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = [x – 1][x + 1] = x² – 1

\=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

1. a[a – 6] + 10 > 0.

1. [x – 3][x – 5] + 4 > 0.

1. a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

1. VT = a² – 6a + 10 = [a – 3]² + 1 ≥ 1

\=> VT > 0

1. VT = x² – 8x + 19 = [x – 4]² + 3 ≥ 3

\=> VT > 0

1. a² + a + 1 = a² + 2.½ + ¼ + ¾ = [a + ½ ]² + ¾ ≥ ¾ >0.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1. A = x² – 4x + 1

1. B = 4x² + 4x + 11

1. C = 3x² – 6x – 1

Lời Giải

1. Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = [ x- 2]² – 3

Do [ x- 2]² > 0 nên => [ x- 2]² – 3 ≥ -

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A[Amin] = -3 khi và chỉ khi x = 2.

1. B = 4x² + 4x + 11 = [2x + 1]² + 10

Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.

1. C = 3x² – 6x – 1 = 3[x – 1]² – 4

Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.

Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p[p – a]

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:

1. x² – 10x + 26 với x = 105

1. x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,

Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.

Đ/S: 9 và 11.

Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.

Đ/S: ab + bc + ca = 14.