Đề bài - câu 21 trang 55 sgk hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)

Lời giải chi tiết

Trong (ABC), gọi {I} = PR AC

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\
\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\
AC \cap PR = I
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in Qt
\end{array}\)

Trong mp(ACD) gọi {S} = QI AD

Thì {S} = AD (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có

\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)

\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :

\({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \)

\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)