Đề bài
Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của \[\displaystyle{\left[ {{x^3} + {1 \over x}} \right]^8}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:
\[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\]
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số:\[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\].
Để tìm hệ số của số hạng không chứa \[x\] ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm \[k\]
Lời giải chi tiết
Số hạng tổng quát:
\[\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_8^k.{\left[ {{x^3}} \right]^{8 - k}}.{\left[ {\dfrac{1}{x}} \right]^k}\\ = C_8^k.{x^{24 - 3k}}.\dfrac{1}{{{x^k}}}\\ = C_8^k{x^{24 - 3k - k}}\\ = C_8^k{x^{24 - 4k}}\end{array}\]
Số hạng không chứa \[x\] ứng với \[24 - 4k = 0 \Leftrightarrow 4k = 24 \Leftrightarrow k = 6\]
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left[ {{x^3} + \dfrac{1}{x}} \right]^8}\] là \[C_8^6 = 28\].