Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Công thức 2: Khối tứ diện vuông [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]

Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng 

Phương pháp chung:

• Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
• Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
• Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và [P].

Dạng 1: Hình chóp đều.

Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\frac{a \sqrt{21}}{6}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.

Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.

Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

=> Hướng dẫn giải

Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}.$$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.

Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[\frac{a \sqrt{3}}{3}]^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.

Bài tập áp dụng

Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.

=> Hướng dẫn giải

Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

Giải: Giao tuyến của [SAB] với [ABCD] là AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.

Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.

Bài tập áp dụng:

Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

=> Hướng dẫn giải

Page 2

Câu 1:  Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp [ABCD]$.

$AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$

Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.

Hướng dẫn học sinh nắm vững, áp dụng các công thức và dạng bài tập về tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp đa diện.

Hướng dẫn học sinh nắm vững, áp dụng các công thức và dạng bài tập về tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp đa diện.

Chuyên đề: Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của đa diện

A. Lý thuyết

I. Cạnh bên vuông góc với đáy

• Nếu cạnh bên SA vuông góc với đáy nội tiếp thì bán kính ngoại tiếp chóp là: \[{{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}\].
• Trong đó: \[{{R}_{D}}\] là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và R là bán kính của hình cầu ngoại tiếp chóp.
• Đặc biệt:
• Nếu SA vuông góc với đáy và \[\widehat{ABC}={{90}^{0}}\] thì \[R=\frac{SC}{2}\] và tâm là trung điểm SC.
• Nếu chóp SABC là tam diện vuông tại A thì bán kính ngoại tiếp là \[{{R}^{2}}=\frac{1}{4}\left[ S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right]\].

II. Chóp có các cạnh bên bằng nhau

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{S{{A}^{2}}}{2\text{S}O}\]. Trong đó: O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Đặc biệt:

• ABCD là hình vuông, hình chữ nhật thì O là giao của hai đường chéo.
• \[\Delta ABC\] vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
• \[\Delta ABC\] đều thì O là trực tâm, trọng tâm
• ABCD là nửa lục giác đều, khi đó O là trung điểm của đáy lớn hình thang.

III. Mặt bên vuông góc với đáy

• Cho hai mặt phẳng [SAB] và [ABC] vuông góc với nhau và có giao tuyến AB. \[{{R}_{1}},{{R}_{2}}\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ABC thì bán kính đường tròn mặt cầu ngoại tiếp là \[{{R}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\].

IV. Mặt cầu tổng quát

• Chóp SABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó ta có phương trình:
• \[{{\left[ SH-x \right]}^{2}}+O{{H}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\]. Với giá trị x tìm được ta có: \[{{R}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\].

V. Mặt cầu nội tiếp

• Ta có công thức: \[r=\frac{3V}{S}\]. Trong dó S là tổng diện tích các mặt của đa diện.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Chóp S.ABCD có các mặt bên [SAB], [SAD] cùng vuông góc với đáy. ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và [ABCD] bằng \[{{45}^{0}}\]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
A. R=a	B. \[R=a\sqrt{2}\]	C. \[R=a\sqrt{3}\]	D. R= 2a

Lời giải: Chọn A.

Đây là bài thuộc dạng 1. ABCD là hình chữ nhật. \[AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}\]. \[{{R}_{D}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]. Nên \[{{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}={{\left[ \frac{a\sqrt{2}}{2} \right]}^{2}}+\frac{{{\left[ a\sqrt{2} \right]}^{2}}}{4}={{a}^{2}}\Rightarrow R=a\].

Câu 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết \[SA=SB=SC=a\sqrt{3}\], tam giác ABC vuông tại B có AC=2a.
A. \[R=\frac{3\text{a}\sqrt{3}}{5}\]	B. R=a	C. \[R=\frac{3\text{a}\sqrt{2}}{4}\]	D. \[R=a\sqrt{2}\]

Lời giải: Chọn C.

Ta thấy bài trên thuộc dạng 2. Gọi O là trung điểm của BC.

Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nên \[R=\frac{S{{A}^{2}}}{2\text{S}O}=\frac{{{\left[ a\sqrt{3} \right]}^{2}}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}}}=\frac{3{{\text{a}}^{2}}}{2\sqrt{3{{\text{a}}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{3\text{a}\sqrt{2}}{4}\].

Câu 3: Chóp S.ABCD có mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đáy là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
A. \[R=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}\]	B. \[R=\frac{\text{a}\sqrt{39}}{6}\]	C. \[R=\frac{\text{a}\sqrt{57}}{6}\]	D. \[R=\frac{\text{3a}}{34}\]

Lời giải: Chọn A.

Ta thấy bài toán trên thuộc dạng 3. Tam giác đều ABC cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \[{{R}_{1}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] và đáy ABCD có bán kính đường tòn ngoại tiếp là \[{{R}_{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\]. Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là \[R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{3} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{a\sqrt{5}}{2} \right]}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}\].

Câu 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đồng thời tam giác SAB vuông cân và tam giác SCD đều.
A. \[R=\frac{a\sqrt{21}}{3}\]	B. \[R=\frac{a\sqrt{21}}{6}\]	C. \[R=\frac{a\sqrt{2}}{6}\]	D. \[R=\frac{3a}{8}\]

Lời giải: Chọn B.

Gọi E, F là trung điểm AB, CD. Khi đó \[\left[ SEF \right]\bot \left[ ABCD \right]\]. Kẻ \[SH\bot EF\Rightarrow SH\bot \left[ ABCD \right]\]. Nên SH là đường cao của chóp. Ta có \[SE=\frac{a}{2}\] và \[SF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]. Xét tam giác SEF có độ dài ba cạnh nên theo công thức Hê – rông ta tính được \[S=\sqrt{p\left[ p-a \right]\left[ p-b \right]\left[ p-c \right]}=\frac{1}{2}EF.SH\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\].

Nên \[OH=OE-EH=\frac{a}{2}-\sqrt{{{\left[ \frac{a}{2} \right]}^{2}}-{{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{4} \right]}^{2}}}=\frac{a}{4}\].

Ta có phương trình: \[{{\left[ SH-x \right]}^{2}}+O{{H}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{4}-x \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{a}{4} \right]}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left[ \frac{a\sqrt{2}}{2} \right]}^{2}}\]\[\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow R=\sqrt{{{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{6} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{a\sqrt{2}}{2} \right]}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\].

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \[{{60}^{0}}\]. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABC
A. \[r=\frac{-1+\sqrt{13}}{12}a\]	B. \[r=\frac{-1+2\sqrt{13}}{51}a\]	C. \[r=\frac{-1+\sqrt{13}}{51}a\]	D. \[r=\frac{-1+2\sqrt{13}}{12}a\]

Lời giải: Chọn A.

Ta thấy bài toán thuộc dạng 5. Ta có: \[HA=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=HA.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a\].

\[SK=\sqrt{H{{K}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{6} \right]}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{39}}{6}\]. Nên tổng diện tích 4 mặt của tứ diện là: \[S={{S}_{ABC}}+{{S}_{SAB}}+{{S}_{SBC}}+{{S}_{SAC}}={{S}_{ABC}}+3{{\text{S}}_{SBC}}\]\[=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\frac{1}{2}.BC.SK=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\left[ \frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{39}}{6} \right]=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}\].

Mà \[V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\]. Nên \[r=\frac{3V}{S}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}}=\frac{-1+\sqrt{13}}{12}a\].

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho chóp S.ABC biết \[SA\bot \left[ ABC \right]\], tam giác ABC vuông cân tại B có diện tích bằng \[2{{\text{a}}^{2}}\], góc giữa SB và [ABC] bằng \[{{45}^{0}}\]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
A. \[R=a\sqrt{2}\]	B. \[R=2a\sqrt{2}\]	C. \[R=a\sqrt{3}\]	D. R=2a
Câu 2: Chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD là nửa lục giác đều có AD=6>BC và AD song song BC. Góc giữa SD và [SAB] là \[{{45}^{0}}\]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
A. \[R=\frac{3\sqrt{7}}{2}\]	B. \[R=\frac{3\sqrt{6}}{2}\]	C. \[R=\frac{3\sqrt{5}}{2}\]	D. \[R=3\sqrt{2}\]
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB=4a, CD=6a, các cạnh còn lại đều bằng \[a\sqrt{22}\]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. R=3a	B. \[R=\frac{a\sqrt{85}}{3}\]	C. \[R=\frac{a\sqrt{79}}{3}\]	D. \[R=\frac{5a}{2}\]
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=SA=SB=a, \[SC=\frac{a}{\sqrt{3}}\], \[\left[ SBC \right]\bot \left[ ABC \right]\]. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \[\frac{a\sqrt{6}}{4}\]	B. \[\frac{a\sqrt{3}}{6}\]	C. \[\frac{a\sqrt{6}}{2}\]	D. \[\frac{a\sqrt{6}}{3}\]
Câu 5: Cho tứ diện OABC là tam diện vuông tại O và OA=OB=OC=1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 1	B. \[\frac{1}{2}\]	C. \[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	D. \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.
A. 3a	B. \[\frac{3\text{a}}{4}\]	C. \[\frac{3\text{a}}{2}\]	D. 2a
Câu 7: Cho hình lập phương cạnh a. Gọi \[{{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}\] lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \[R_{2}^{2}={{R}_{1}}.{{R}_{3}}\]	B. \[R_{2}^{2}=R_{1}^{2}+R_{3}^{2}\]	C. \[R_{1}^{2}=R_{2}^{2}+R_{3}^{2}\]	D. \[R_{3}^{2}=R_{1}^{{}}.R_{2}^{{}}\]
Câu 8: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. \[\frac{9}{8}\]	B. \[\frac{9}{4}\]	C. \[\frac{3}{4}\]	D. \[\frac{3}{2}\]
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao \[h=\frac{\sqrt{3}}{2}\]. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
A. \[\sqrt{3}\]	B. \[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	C. \[\frac{\sqrt{3}}{4}\]	D. \[\frac{\sqrt{3}}{6}\]
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S. ABCD.
A. \[\frac{\sqrt{17}}{8}\]	B. \[\frac{\sqrt{17}-1}{8}\]	C. \[\frac{\sqrt{17}-1}{4}\]	D. \[\frac{\sqrt{17}-2}{4}\]

Đáp án bài tập tự luyện

Bài viết gợi ý: