Cách tìm hai điểm cực trị
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc baCho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$ Show Nhận thấy $y$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta_{y}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\). Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\] Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$. Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho. 2. Ví dụ minh hoạĐề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\). Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\). Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Xem thêm:Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng |