Các dạng toán dùng bdt cô si để chứng minh

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn lý thuyết về bất đẳng thức Cosi và các dạng bài tập bất đẳng thức Cosi thường gặp từ cơ bản đến nâng cao trong các đề thi trung học phổ thông và đại học.

Nội dung bài viết

Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Giả sử a1 ,a2,…, an là các số thực bất kì và b1, b2,…, bn là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực không âm, khi đó ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Dạng tổng quát của bất đẳng thức cosi

Cho x1,x2,..,xn là các số thực dương ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Cho x1,x2,..,xn là các số thực âm ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Các bất đẳng thức cosi đặc biệt

Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Tham khảo:

• Công thức cấp số cộng
• Công thức cấp số nhân
• Tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit cực đơn giản

Bài tập về bất đẳng thức cosi

Dạng 1: Vận dụng trực tiếp BĐT côsi

Ví dụ1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng (a+b)5 ≥ 16ab √(1+a2)(1+b2)

Lời giải:

Ta có (a+b)5 = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3)

Áp dụng BĐT cosi ta có:

a2 + 2ab + b2 ≥ 2√2ab(a2 + b2) = 4√ab

(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) ≥ 2√(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) = 4√ab (1 + b2)(a2 + 1)

\=> (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3) ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1)

\=> Do đó (a + b)5 ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1) điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Ví dụ 2: Cho 2 số không âm a, b. CHứn minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

\=> (1 + b)(1 + ab) ≥ 2√ab.2√ab = 4ab DPCM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

Phương pháp:

• Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
• Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
• Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể nắm được lý thuyết về bất đẳng thức cosi và các dạng bài tập bất đẳng thức cosi nhé

Tài liệu gồm 91 trang, được trích từ cuốn sách Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức của các tác giả: Nguyễn Công Lợi, Đào Quốc Chung, Đào Quốc Dũng, Phạm Kim Chung (diễn đàn Toán THPT K2PI), hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Cô-si (BĐT Cauchy, BĐT AM – GM, BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất).

Khái quát nội dung tài liệu áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN:

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi). 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy.
2. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra. 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy. Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản. [ads] 4. Kỹ thuật thêm bớt. Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề. 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. 6. Kỹ thuật đổi biến số. Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.

• Bất Đẳng Thức Và Cực Trị

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]