Các dạng bài tập phép thử và biến cố

Phép thử và biến cố là phần kiến thức các em cần nắm rõ trong chương trình toán THPT. Để hiểu rõ hơn về dạng bài tập này, Vuihoc sẽ mang đến bài viết tổng hợp về lý thuyết kèm bài tập vận dụng giúp các em học sinh hiểu bài và áp dụng một cách chính xác nhất.

Toán 11 phép thử và biến cố là phép thử mà chúng ta không đoán trước được kết quả. Hãy cùng tìm hiểu sâu hơn về các định nghĩa này.

1.1. Phép thử ngẫu nhiên là gì?

Phép thử ngẫu nhiên hay còn được gọi là phép thử, chính là một hành động hay thí nghiệm có thể lặp đi lặp lại trong các điều kiện giống nhau. 

Mặc dù biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó nhưng kết quả của nó vẫn không dự đoán được trước.

Bài toán “Xác suất” được học ở trường THPT, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả đó có thể có được.

Ví dụ: Khi ta gieo quân súc sắc, kết quả thu được là 1 - 6 mặt súc sắc

1.2. Không gian mẫu

Không gian mẫu là tập hợp tất cả kết quả có thể có của phép thử T được gọi là không gian mẫu của phép thử T. Kí hiệu là Ω.

Ví dụ: Khi gieo đồng tiền là phép thử với không gian mẫu là Ω = {S, N} 

[S - sấp, N - ngửa]

2. Biến cố

2.1. Khái niệm và ví dụ

Ta có Ω là không gian mẫu của một phép thử T

Nếu A là tập con của Ω thì A là biến cố [liên quan đến phép thử T]

Ta nói “biến cố A xảy ra” trong kết quả khi thực hiện phép thử T, nếu có một phần tử của biến cố xảy ra.

Ví dụ: Ví dụ: Khi gieo đồng tiền hai lần với không gian mẫu là Ω = {SS, SN, NS, NN}

- Ta gọi biến cố A là "Kết quả khi gieo đồng tiền hai lần giống nhau". Khi đó biến cố A được mô tả bởi tập con của không gian mẫu $\omega_{A} = {SS, NN}$

- Biến cố B là “Ít nhất một lần xuất hiện ngửa = {SN, NS, NN}

2.2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn

Ta có Ω là không gian mẫu của phép thử T, ta có định nghĩa như sau:

• Biến cố A gọi là biến cố ngẫu nhiên nếu như A ≠ Φ và A là tập con thực sự của Ω.

• Tập Φ gọi là biến cố không thể [biến cố không].

• Ω gọi là biến cố chắc chắn.

2.3. Chú ý

• Biến cố ngẫu nhiên có liên quan đến phép thử T được đồng nhất với sự kiện có thể sẽ xảy ra, nhưng cũng có thể không xảy ra.

• Mỗi khi phép thử T được thực hiện, biến cố chắc chắn liên quan với phép thử T được đồng nhất với sự kiện nhất định phải xảy ra.

• Biến cố không thể liên quan đến phép thử T được đồng nhất với sự kiện nhất định không xảy ra.

• Trong mọi trường hợp ta đều có biến cố A là một kết quả có thể có thuận lợi cho A.

3. Quan hệ và phép toán trên các biến cố

3.1. Hai biến cố đồng nhất

Hai biến cố A và B được gọi là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi “Tập A bằng tập B”

Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra hai biến cố A và B đồng nhất với nhau khi và chỉ khi đồng thời xảy ra hoặc đồng thời không xảy ra mỗi khi phép thử T thực hiện.

Kí hiệu: A = B

3.2. Hợp, giao của các biến cố

A, B là các biến cố liên quan đến phép thử T thì tập A ∪ B cũng là biến cố liên quan đến phép thử T. 

Biến cố A ∪ B gọi là hai biến cố A và B

Chú ý: C = A ∩ B

A . B là kí hiệu của biến cố A ∩ B

3.3. Hai biến cố xung khắc

Biến cố B và biến cố A được gọi là xung khắc với nhau $\Leftrightarrow$ A ∩ B = Φ

Chú ý:

Từ định nghĩa suy ra hai biến cố A và B xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không thể đồng thời cùng xảy ra mỗi khi phép thử T được thực hiện.

3.4. Biến cố đối

Nếu A là biến cố có liên quan đến phép thử T thì tập Ω \ A cũng là biến cố liên quan đến phép thử T và gọi là biến cố đối của A, có kí hiệu là $\overline{A}$

Chú ý:

Từ định nghĩa:  $\overline{A}$ = “Không xảy ra biến cố A”. Ta có:

• $\overline{A}$ xảy ra $\Rightarrow$ A không xảy ra

• $\overline{A}$ là phần bù của A trong Ω

• B được gọi là biến cố đối của biến cố A thì A là biến cố đối của biến cố B. Đồng thời ta có:

4. Những bài tập về phép thử và biến cố [có cách giải]

Dưới đây là các ví dụ giải bài tập phép thử và biến cố:

Bài 1: Khi gieo một quân súc sắc, hãy liệt kê các kết quả có thể có được của phép thử.

Giải:

Kết quả có thể của phép thử khi gieo súc sắc: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm

Bài 2: Một hòm có chứa 4 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, lấy ngẫu nhiên 2 thẻ. Hãy xác định không gian mẫu.

Giải:

Bởi vì hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên [i; j] với [j; i] đều như nhau. [i, j] được gọi là kết quả của "lần một lấy trúng thẻ i và lần 2 lấy trúng thẻ j". Do đó không gian mẫu là:

Ω = {[1, 3], [1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}

Bài 3: Hãy xác định các biến cố:

A: "Tổng số trên 2 thẻ là số chẵn".

B: "Tích số trên 2 thẻ là một số chẵn."

Biết một hòm đó có chứa 4 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ta sẽ lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hòm

Giải:

Ta có:

A: "Các số trên thẻ có tổng là số chẵn".

⇒ A = {[1, 3], [2, 4]}

B: "Tích số trên 2 thẻ là số chẵn".

⇒ B = {[1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}

Bài 4: Một tấm bia được 2 xạ thủ bắn cung cùng bắn vào tâm. Ak chính là một biến cố: "Người thứ K bắn trúng tấm bia", k = 1, 2. Hãy biểu diễn biến cố sau đây qua các biến cố A1, A2:

A: "Không ai bắn trúng"

B: "Cả hai đều bắn trúng"

C: "Có đúng một người bắn trúng"

D: "Ít nhất một người bắn trúng"

Giải:

Ak được gọi là biến cố: "Người thứ K bắn trúng tâm"

- A1: "Người 1 bắn trúng"

⇒ $\overline{A_{1}}$: “Người thứ nhất sẽ không bắn trúng”.

- A2: "Người 2 bắn trúng"

⇒ $\overline{A_{2}}$: “Người thứ hai không bắn trúng tấm bia”.

Bài 5: Hãy miêu tả không gian mẫu khi gieo đồng tiền liên tiếp cho đến khi xuất hiện cả 4 lần ngửa hoặc mặt sấp thì dừng lại. 

Giải:

Không gian mẫu của phép thử khi gieo đồng tiền liên tiếp đã cho là: Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}

Bài 6: Xác định các biến cố.

A: “Số lần gieo không vượt quá 3”

B: "Số lần gieo là 4"

Biết ta gieo liên tiếp đến khi xuất hiện mặt sấp hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng.

Giải:

Xác định biến cố

A: "Không vượt qua 3 số lần gieo tiền"

A = {S, NS, NNS}

B: “Số lần gieo là bốn”.

B = {NNNS, NNNN}

Hy vọng rằng sau bài viết này các em học sinh sẽ nắm chắc toàn bộ kiến thức và bài tập áp dụng về phép thử và biến cố. Để có thêm thật nhiều kiến thức hay và hữu ích, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản nhé!

Phép thử và biến cố là những khái niệm hoàn toàn mới, tiết học ngày hôm nay chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu với iToan nhé! Bài giảng được iToan biên soạn chi tiết, dễ hiểu nhất, giúp các em tự tin nắm vững kiến thức và làm thành thạo các bài tập liên quan.

Lý thuyết cần nắm Phép thử và biến cố

Tổng hợp lý thuyết cơ bản và chi tiết nhất iToan biên soạn giúp các em nám vững kiến thức!

Phép thử và không gian mẫu

a. Phép thử

🌸Phép thử ngẫu nhiên [gọi tắt là phép thử] là một thí nghiệm hay một hành động mà:

• Kết quả của nó không đoán trước được;
• Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

🌸Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.

b. Không gian mẫu

🌸Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω  [đọc là ô-mê-ga].

Ví dụ: Gieo một đồng tiền có hai mặt là mặt sấp và mặt ngửa [N]. Khi đó

Phép thử là: Gieo một đồng tiền

Không gian mẫu là: Ω={S,N} , trong đó S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “Mặt ngửa xuất hiện”.

Biến cố

 Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

 Như vậy, biến cố A liên quan đến phép thử T là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó của phép thử.

 Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

 Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA . Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ΩA .

 Tập ∅ được gọi là biến cố không thể [gọi tắt là biến cố không]. Còn tập Ω  được gọi là biến cố chắc chắn.

Phép toán trên các biến cố

• Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử. Tập Ω∖A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A¯¯¯¯.

Ví dụ: Phép thử: Gieo một con súc sắc.

Gọi B là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm” thì B¯¯¯¯ là biến cố “Xuất hiện mặt lẻ chấm”.

Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử. Ta có định nghĩa sau:

• Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B. A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

• Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B. A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

• Nếu A∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc. Vậy A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.

Ta có bảng sau

Ví dụ: Xét phép thử: gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố:

A: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”.

B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp”.

D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”.

Ta có:

A = {SS,NN}; B = {SN;NS;SS}; C = {NS}; D = {SS,SN}

Từ đó

C∪D =  {SS;NS;SN} = B;

A∩D = {SS}  là biến cố “cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”.

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phép thử và biến cố

Bài 1 [trang 63 SGK Đại số 11]: 

Gieo một đồng tiền 3 lần.

a.Mô tả không gian mẫu.

b.Xác định các biến cố:

A:”Lần đầu xuất hiện mặt sấp”

B:”Mặt sấp xảy ra đúng một lần”

C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.

Lời giải:

a. Kí hiệu : S là đồng tiền ra mặt sấp và N là đồng tiền ra mặt ngửa

Không gian mẫu gồm 8 phần tử:

Ω = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}

b.Xác định các biến cố:

A:”Lần đầu xuất hiện mặt sấp”

A ={SSS, SSN, SNS, SNN}

B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”

B = {SNN, NSN, NNS}

C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.

C = {SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}

Bài 2 [trang 63 SGK Đại số 11]: 

Gieo một con súc sắc hai lần.

a. Mô tả không gian mẫu

b. Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A: = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6, 5], [6, 6]}

B: = {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4], [1, 7], [7, 1]}

C: = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6]}.

Lời giải:

a. Không gian mẫu gồm 36 phần tử:

Ω = {[i, j] | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Trong đó [i, j] là kết quả “lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.

b. Phát biểu các biến cố dưới dạng mệnh đề:

A = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6, 5], [6, 6]}

– Đây là biến cố “lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm khi gieo con súc sắc”.

B = {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4]}

– Đây là biến cố ” cả hai lần gieo có tổng số chấm bằng 8″.

C = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6]}

– Đây là biến cố ” kết quả của hai lần gieo là như nhau”.

Bài 3 [trang 63 SGK Đại số 11]: 

Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, lấy mẫu ngẫu nhiên 2 thẻ.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”.

B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn.”

Lời giải:

a. Do hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên [i;j] với [j;i] là như nhau. Do đó không gian mẫu chỉ là:

Ω = {[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}

Trong đó [i, j] là kết quả “lần đầu lấy trúng thẻ i và lần 2 lấy trúng thẻ j”.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”.

⇒ A = {[1, 3], [2, 4]}

B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.

⇒ B = {[1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}

Bài 4 [trang 64 SGK Đại số 11]: 

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “Người thứ K bắn trúng”, k = 1, 2.

a. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1, A2;

A: “Không ai bắn trúng”

B: “Cả hai đều bắn trúng”

C: “Có đúng một người bắn trúng”

D: “Có ít nhất một người bắn trúng”

b. Chứng tỏ rằng A = D−; B và C xung khắc nhau.

Lời giải:

Ak là biến cố: “Người thứ k bắn trúng”

– A1 : “Người thứ nhất bắn trúng”

⇒ 

 : “Người thứ nhất không bắn trúng”.

– A2 : “Người thứ hai bắn trúng”

⇒ 

 : “Người thứ hai không bắn trúng”.

Bài 5 [trang 64 SGK Đại số 11]: 

Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a.Mô tả không gian mẫu.

b.Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:

A: “Lấy được thẻ màu đỏ”

B: “Lấy được thẻ màu trắng”

C: “Lấy được thẻ ghi số chắn”.

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

Lời giải:

a. Không gian mẫu gồm 10 phần tử:

Ω = {1, 2, 3, …, 10}

b. A, B, C “là các biến cố”.

+ A: “Lấy được thẻ màu đỏ”

⇒ A = {1, 2, 3, 4, 5}

+ B: “Lấy được thẻ màu trắng”

⇒ B = {7, 8, 9, 10}

+ C: “Lấy được thẻ ghi số chắn”.

⇒ C = {2, 4, 6, 8, 10}

Bài 6 [trang 64 SGK Đại số 11]: 

Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt sấp hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng lại.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố.

A: “Số lần gieo không vượt quá 3”

B: “Số lần gieo là 4”

Lời giải:

a. Không gian mẫu của phép thử gồm 5 phần tử được mô tả sau:

Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}

b. Xác định các biến cố:

+ A: “Số lần gieo không vượt quá 3”

A = {S, NS, NNS}

+ B: “Số lần gieo là 4”

B = {NNNS, NNNN}.

Bài 7 [trang 64 SGK Đại số 11]: 

Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”

B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”

C: “Hai chữ số bằng nhau”.

Lời giải:

a. Không gian mẫu gồm 20 phần tử được mô tả như sau:

Ω = {[1; 2], [2; 1], [1; 3], [3; 1], [1; 4], [4; 1], [1; 5], [5; 1], [2; 3], [3; 2], [2; 4], [4; 2], [2; 5], [5; 2], [3; 4], [4; 3], [3; 5], [5; 3], [4; 5], [5; 4]}

b. Xác định các biến cố sau:

+ A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”

A = {[1; 2], [1; 3], [1; 4], [1; 5], [2; 3], [2; 4], [2; 5], [3; 4], [3; 5], 4; 5]}

+ B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”

B = {[2; 1], [4; 2]}

+ C: “Hai chữ số bằng nhau”.

C = ∅

Bài tập tự luyện Phép thử và biến cố

Sau khi học xong phần lý thuyết và làm bài tập sách giáo khoa, các bài tập tự luyện sẽ giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức!

Phần câu hỏi

Câu 1: Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:

A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp

B. Gieo đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa

C. Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ

D. Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.

Câu 2: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:

A. 24

B. 12

C. 6

D. 8

Câu 3: Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian mẫu là:

A. 9

B. 18

C. 29

D. 39

Câu 4: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng lần là:

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 5: Cho phép thử có không gian mẫu Ω={1,2,3,4,5,6} . Các cặp biến cố không đối nhau là:

A. A={1} và B={2,3,4,5,6} .

B. C={1,4,5} và D={2,3,6} .

C. E={1,4,6} và F={2,3}

D. Ω và ∅ .

Phần đáp án

Lời kết

Bài giảng kết thúc tại đây! Các em hãy luôn nỗ lực học tập, làm nền tảng cho kì thi THPT quốc gia sắp tới. Học tập là một quá trình dài, nếu em gặp bất kì khó khăn nào, có thể tìm đến sự trợ giúp của các thầy cô giáo Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến tốt nhất hiện nay, với đầy đủ chương trình học từ lớp 1 đến 12, chắc chắn sẽ giúp em lấy lại nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao.

>> Xem thêm bài giảng khác: