Ví dụ về chứng minh trực tiếp

Trong lập luận này, những phát biểu được tạo nên trước đó có thể được sử dụng, chẳng hạn như các định lý. Về nguyên lý, một phép chứng minh có thể được truy nguyên về một điều hiển nhiên hoặc một phát biểu được thừa nhận còn được biết đến như là tiên đề. Các phép chứng minh là những ví dụ của lý luận suy diễn (là quá trình suy diễn từ một hay nhiều phát biểu để dẫn đến một kết luận chắc chắn nhất về mặc logic) và được phân biệt với lập luận quy nạp hay từ thực nghiệm; một phép chứng minh phải cho người ta thấy rằng một phát biểu là luôn luôn đúng (đôi lúc người ta phải liệt kê ra các trường hợp có thể và chỉ ra rằng nó thỏa mãn trong mỗi trường hợp), hơn nữa là liệt kê thêm nhiều trường hợp chứng thực. Một phát biểu chưa được chứng minh nhưng được tin là đúng được biết đến như những giả thuyết.

 

Các chứng minh sử dụng logic nhưng thường bao gồm một số lượng các ngôn ngữ tự nhiên, và thường một số trong đó cũng được thừa nhận một cách mơ hồ. Tóm lại, đa số các chứng minh viết trong toán học có thể được xem xét như các ứng dụng của logic nghiêm ngặt nhưng không hình thức. Những cách chứng minh hoàn toàn hình thức được viết trong ngôn ngữ ký hiệu thay vì ngôn ngữ tự nhiên, những cách chứng minh này thường được chú ý trong lý thuyết chứng minh. Sự khác biệt giữa chứng minh hình thức và chứng minh không hình thức đã dẫn đến nhiều nghiên cứu ở hiện tại, lịch sử của sự thực hành toán học (thuật ngữ này thường được dùng để phân biệt quá trình tìm tòi của một nhà toán học cá nhân nào đó (như chọn các định lý để chứng minh, sử dụng các ký hiệu không hình thức để thuyết phục chính họ và những người khác rằng nhiều bước khác nhau trong chứgn minh cuối cùng có thể được hình thức hóa, sau đó tìm tòi xem xét và công bố) từ kết quả cuối cùng các định lý đã được chứng minh và thành lập), chủ nghĩa kinh nghiệm trong toán học, và có thể gọi là toán học dân gian (thuật ngữ này được hiểu theo cả hai ý nghĩa của nó, ý muốn chỉ toán học có các định lý, định nghĩa, chứng minh hay các phát biểu được truyền miệng mà không có một bản in chính thức hay xuất hiện trong sách hoặc trong chương trình học ở trường. Triết học toán học quan tâm đến các vai trò của ngôn ngữ và Logic trong các cách chứng minh, và toán học như một loại ngôn ngữ.

 
Lịch sử cà nguồn gốc của từ “proof” (“chứng minh”):
 
Từ “proof” bắt nguồn từ tiếng Latin probare có nghĩa là “kiểm nghiệm”. Liên hệ với từ hiện đại ta có các từ trong tiếng Anh “probe” (thăm dò, dò xét, chứng minh), “probation” và “probability”, tiếng Tây Ban Nhà probar (ngửi hoặc nếm, hoặc chạm, kiểm nghiệm (ít dùng)). Tiếng Ý provare (đồng nghĩa với “try” tức là thử) và tiếng Đức probieren (cũng đồng nghĩa với “try” trong tiếng Anh). Từ được dùng sớm nhất là “probily” (tính trung thực) để đại diện cho các bằng chứng pháp lý. Một người có thẩm quyền, chẳng hạn như một quý tộc, được cho là có tính trung thực, và chỉ dựa vào các bằng chứng của cơ quan thẩm quyền có liên quan đến mình, những bằng chứng ấy có trọng lượng hơn thực tế.
Các lập luận có lý sử dụng các phương tiện phỏng đoán như hình ảnh và các suy luận toán học đã được chứng minh chặt chẽ từ trước. Nó giống như ý tưởng về việc thể hiện những kết luận đầu tiên được phát sinh có liên quan với hình học, ban đầu nó được hiểu giống như là “đo đất”. Các phép chứng minh lần đầu tiên được phát triển và phần lớn là thành quả của nền toán học Hy Lạp cổ đại, và cũng là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học này. Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình học. Eudoxus xứ Cnidus (408-355 TCN) và Theaetetus xứ Athens (417-369 TCN) xây dựng các định lý nhưng không chứng minh được chúng. Aristotle (384-322 TCN) nói rằng các định nghĩa nên được mô tả từ các khái niệm được định nghĩa bằng các thuật ngữ của các khái niệm khác đã biết. Các chứng minh toán học được cách mạng hóa bởi Euclid (300 TCN), người đã xây dựng phương pháp tiên đề được sử dụng đến ngày nay, bắt đầu với những thuật ngữ không được định nghĩa và các tiên đề (axiom) (những mệnh đề liên quan đến những thuật ngữ không được định nghĩa được cho là một sự thật mà tự nó đã rõ ràng minh bạch, và bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp “axios” có nghĩa là “một cái gì đó thích hợp”), và sử dụng chúng để chứng minh các định lý bằng suy diễn logic. Quyển sách của ông –bộ Cơ sở được đọc bởi tất cả những ai có quan tâm đến giáo dục ở phương Tây cho đến hết nửa đầu thế kỷ 20. Trong các bổ sung vào chùm các định lý về hình học, chẳng hạn như định lý Pythagoras, trong quyển Cơ sở có bao gồm một cách chứng minh căn bậc hai của hai là một số vô tỷ và có vô hạn số nguyên tố.
 
Tiến bộ hơn nữa là ở toán học Hồi giáo trung cổ. Trong khi các chứng minh của người Hy Lạp trước sử dụng các biểu diễn hình học một cách rộng rãi, sự phát triển của số học và đại số bởi các nhà toán học Hồi giáo cho phép có nhiều cách chứng minh tổng quát hơn và không phải dựa vào hình học nữa. Vào thế kỷ thứ 10 sau công nguyên, một nhà toán học Iraq là Al-Hashimi đã đưa ra các cách chứng minh tổng quát cho số ( tổng quát hơn cách biểu diễn hình học) cũng như các xem xét của ông về phép nhân, chia, ví dụ như cho các đường thẳng. Ông cũng dùng phương pháp này để chỉ ra cách chứng minh sự tồn tại của số vô tỉ. Phương pháp chứng minh quy nạp cho các bộ số học được xây dựng trong cuốn Al-Fakhri (1000) bởi Al-Karaji, người đã dùng nó để chứng minh các lý thuyết về nhị thức và các tính chất của tam giác Pascal. Alhazen cũng phát triển phương pháp chứng minh bằng phản chứng, cũng như nổ lực đầu tiên trong việc chứng minh định đề song song của Euclid.
 
Lý thuyết chứng minh hiện đại xử lý các chứng minh như một hệ thống dữ liệu quy nạp được định nghĩa. Không còn sự thừa nhận các tiên đề là “đúng” ở bất kỳ ý nghĩa nào; nó chấp nhận việc lý thuyết về sng song trong toán học có thể được xây dựng trên các tập hợp tiên đề có thể luân phiên thay thế nhau (xem thêm các ví dụ như Lý thuyết tập hợp tiên đề và hình học phi Euclid ).
 
Bản chất và mục đích:
 
Trong thực tiễn, một chứng minh được thể hiện bằng ngôn ngữ tự nhiên và một cách lập luận chặt chẽ nhằm mục đích thuyết phục người khác về tính đúng đắn của một phát biểu. Tiêu chuẩn của sự chặt chẽ không tuyệt đối và có nhiều thay đổi trong lịch sử. Một cách chứng minh có thể được diễn đạt bằng nhiều cách tùy thuộc vào mục đích của người cần đọc. Một chứng minh phải đạt được những phát biểu được nhiều người đồng thuận và mang tính chặt chẽ, và một lập luận được cho là mơ hồ hoặc không hoàn chỉnh có thể bị từ chối.
 
Các khái niệm trong một phép chứng minh có thể được hình thức hóa trong lĩnh vực Logic toán học. Một phép chứng minh hình thức được viết bằng ngôn ngữ hình thức thay vì là ngôn ngữ tự nhiên. Một chứng minh hình thức được định nghĩa là một bộ các công thức được viết bằng ngôn ngữ hình thức và mỗi công thức đó là một kết quả của các công thức trước. Nhờ vào định nghĩa về chứng minh hình thức giúp các khái niệm trong chứng minh dễ dàng được tuân thủ hơn trong khi nghiên cứu. Trên thực tế, lĩnh vực lý thuyết chứng minh nghiên cứu về chứng minh hình thức và các tính chất của nó, ví dụ như tính chất mỗi phát biểu có một cách chứng minh hình thức. Một ứng dụng của lý thuyết chứng minh là chỉ ra chắn chắn rằng các phát biểu không quyết định được là không thể chứng minh.
 
Các định nghĩa trong phép chứng minh hình thức là nhằm mục đích áp dụng được các khái niệm trong chứng minh như được viết trong lúc làm toán. Tính đúng đắn của định nghĩa trên khiến cho ngườ tin có niềm tin rằng về nguyên lý thì mọi chứng minh đã từng được công bố có thể được chuyển thành chứng minh hình thức. Tuy nhiên, ngoài lĩnh vực chứng minh bằng các trợ lý tự động hóa thì việc này ít khi được áp dụng trong thực tế. Câu hỏi kinh điển trong triết học là liệu một phép chứng minh là phân tích hay tổng hợp. Kant, người đã xây dựng sự phân biệt giữa phân tích – tổng hợp, tin rằng các chứng minh toán học mang tính tổng hợp.
 
Chứng minh có thể được xem như một đối tượng thẩm mỹ và được tôn sùng bởi vẻ đẹp toán học của chúng. Nhà toán học Paul Erdős được biết đến vì ông đã miêu tả các cách chứng minh đẹp một cách đặc biệt mà ông đã tìm thấy như đến từ “The Book” (quyên sách), một quyển sách lớn trong giả định có chứa những phương pháp đẹp nhất để chứng minh từng định lý. Quyển Các chứng minh từ QUYỂN SÁCH (Proofs from THE BOOK), xuất bản năm 2003, được dành để trình bày các 32 cách chứng minh được chỉnh sửa sao cho đặc biệt dễ chịu nhất.
 
Các phương pháp:
 
Chứng minh trực tiếp:
 
Trong phương pháp chứng minh trực tiếp, một kết quả được đưa đến bằng việc kết hợp một cách logic các tiên đề, các định nghĩa và các định lý có trước nó.Ví dụ phương pháp chứng minh trực tiếp có thể được dùng để chỉ ra rằng tổng của hai số nguyên chẵn luôn luôn là một số nguyên chẵn:
 
Cho hai số nguyên chẵn $x$ và $y$. Khi đó do là số chẵn nên chúng có thể được viết thành $x=2a$ và $y=2b$, với a và b là hai số nguyên. Sau đó ta lại có $x+y=2a+2b=2\left( a+b \right)$. Thế nên $x+y$ có $2$ là một ước, do đó theo định nghĩa thì nó cũng là một số nguyên chẵn. Vậy tổng của hai số nguyên chẵn luôn là một số nguyên chẵn.
 
Chứng minh trên sử dụng định nghĩa về số nguyên chẵn, các tính chất đóng của số nguyên với phép cộng và nhân, và luật phân phối.
 
Chứng minh bằng quy nạp toán học:
 
Quy nạp toán học không phải là một hình thức lập luận quy nạp (lập luận quy nạp là quá trình lập luận mà trong đó tiên đề của lý lẽ được cho là chứng minh cho kết luận nhưng không đẩm bảo nó. Kiểu lập luận này được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví dụ của phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan sát của các hiện tượng lặp đi lặp lại. Ví dụ nước đá lạnh có thể suy ra tổng quát tất cả nước đá đều lạnh). Trong chứng minh bằng quy nạp toán học, một “trường hợp cơ sở” duy nhất được chứng minh, sau đó một “quy tắc quy nạp” được chứng minh sao cho một trường hợp nào đó cũng kéo theo trường hợp tiếp theo sau nó. Áp dụng quy tắc quy nạp đó nhiều lần, từ một trường hợp cơ sở được chứng minh riêng lẽ, chúng ta sẽ chứng minh được nhiều trường hợp hơn và thường là nhiều đến mức vô hạn. Từ một trương hợp cơ sở đúng đắn, vô hạn trường hợp khác cũng phải đúng, mặc dù tất cả các trường hợp đều không thể chứng minh trực tiếp bởi số lượng vô hạn của nó. Một trong các phương pháp chứng minh quy nạp là lùi vô hạn (thường sử dụng tính chất một dãy các số tự nhiên sắp thứ tự không thể nhỏ vô dần vô hạn được). Phương pháp lùi vô hạn căn bậc hai của hai là một số vô tỷ.
 
Một ứng dụng thông thường của chứng minh bằng quy nạp toán học là chứng minh một tính chất nào đó thỏa với một số thì thỏa với tất cả các số tự nhiên: Đặt $N=\left\{ 1;2;3;4;\ldots  \right\}$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên, và $P\left( n \right)$ là một phát biểu toán học gắn với một số tự nhiên n nào đó thuộc N, chẳng hạn:
 
- $P\left( 1 \right)$ đúng có nghĩa là $P\left( n \right)$ đúng với $n=1$.
 
- $P\left( n+1 \right)$ đúng khi $P\left( n \right)$ đúng, tức là nếu $P\left( n \right)$ đúng có nghĩa là $P\left( n+1 \right)$ cũng đúng.
Khi đó $P\left( n \right)$ đúng với mọi số n.
 
Ví dụ, chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp tóa học tất cả các số nguyên có dạng $2n+1$ là số lẻ:
 
- Với $n=1$, $2n+1=2\left( 1 \right)+1=3$, và $3$ là số lẻ. Do đó $P\left( 1 \right)$ đúng.
 
- Với $2n+1$ đúng với một vài $n$, $2\left( n+1 \right)+1=\left( 2n+1 \right)+2$. Nếu $2n+1$ là số lẻ, khi đó $\left( 2n+1 \right)+2$ cũng là một số lẻ, bởi vì cộng hai vào một số lẻ sẽ có kết quả là một số lẻ mới. Do đó $P\left( n+1 \right)$ đúng nếu $P\left( n \right)$ đúng.
 
Vì thế ta có $2n+1$ là một số lẻ với mọi số tự nhiên $n$.
 
Cụm từ “chứng minh bằng quy nạp” thường được sủ dụng một cách thường xuyên với hàm ý là “chứng minh bằng quy nạp toán học”.
 
Chứng minh bằng đảo đề:
 
Chứng minh bằng suy luận đảo đề kết luận “nếu $p$ thì $q$” từ một mệnh đề tương đương khác là “nếu không q thì không p”. Phát biểu “nếu
không $q$ thì không $p$” được gọi là đảo đề của phát biểu “nếu $p$ thì $q$”. Ví dụ, đảo đề có thể được dùng để chứng minh điều sau: cho một số nguyên $x$, nếu ${{x}^{2}}$ là một số chẵn, khi đó $x$ là một số chẵn.
Giả sử $x$ không phải là số chẵn. Khi đó $x$ lẻ. Tích của hai số lẻ là một số lẻ, do đó ${{x}^{2}}=x.x$ là một số lẻ. Do đó ${{x}^{2}}$ không phải một số chẵn.
 
Chứng minh bằng sự mâu thuẫn:
 
Trong phương pháp chứng minh bằng sự mâu thuẫn (còn được gọi là reductio ad absurdum, bắt nguồn từ tiếng Latin “bằng sự quy giản đến vô lý”), nó chỉ ra ra rằng nếu một phát biểu nào đó là đúng, và khi đó có một mâu thuẫn logic nào đó xảy ra, thì phát biểu đó phải sai. Một ví dụ nổi tiếng của việc chứng minh bằng phản chứng là chỉ ra rằng $\sqrt{2}$ là một sô vô tỉ:
 
Gỉa sử rằng $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ, nên theo định nghĩa ta có $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ với a và b là hai số nguyên khác không nguyên tố cùng nhau. Do đó, $b\sqrt{2}=a$. Bình phương cả hai vế ta được $2{{b}^{2}}={{a}^{2}}$. Từ đó vế trái chia hết cho $2$ nên vế phải cũng phải chia hết cho $2$ (vì hai vế bằng nhau và cùng đều là các số nguyên). Do đó ${{a}^{2}}$ phải là số chẵn, cũng đồng nghĩa với việc $a$ cũng là một số chẵn. Nên chúng ta có thể viết $a=2c$, với $c$ cũng là một số nguyên.
 
Thay vào phương tình ban đầu ta có $2{{b}^{2}}={{\left( 2c \right)}^{2}}=4{{c}^{2}}$. Chia cả hai vế cho $2$ ta có ${{b}^{2}}=2{{c}^{2}}$. Nhưng lúc đó, bằng các lập luận tương tự như trên, $2$ chia hết ${{b}^{2}}$, nên b cũng là số chẵn. Tuy nhiên, nếu $a$ và $b$ đều là số chẵn thì nó có ước chung là $2$. Điều này mâu thuẫn với giả định của chúng ta, nên chúng ta phải có kết luận rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ.
 
Chứng minh bằng cách xây dựng:
 
Chứng minh bằng cách xây dựng, hay chứng minh bằng ví dụ, là một cách xây dựng một ví dụ cụ thể với một tính chất để chỉ ra rằng tồn tại một thứ gì đó có tính chất đó. Ví dụ như Joseph Liouville đã chứng minh sự tòn tại của số siêu việt bằng cách xây dựng một ví dụ rõ ràng. Nó còn có thể được sử dụng để xây dựng một phản ví dụ để bác bỏ phát biểu rằng mọi phần tử đều có cùng một tính chất nhất định.
 
Chứng minh bằng phép vét kiệt:
 
Trong phương phép chứng minh bằng phéo vét liệt, một kết luận được chứng minh bằng các chia thành số hữu hạn các trường hợp và chứng minh từng trường hợp đó một cách riêng biệt. Ví dụ như cách chứng minh đầu tiên của định lý bốn màu bằng phép vét kiệt có đến $1,936$ trường hợp. Số lượng các trường hợp có khi lên đến con số khổng lồ. Cách chứng minh này đã từng gây tranh cải vì đa số các trường hợp được kiểm tra bằng chương tình máy tính chứ không phải bằng tay. Chứng minh ngắn nhất được biết của định lý bốn màu là vào năm 2011 vẫn còn đến hơn $600$ trường hợp.
 
Chứng minh bằng xác suất:
 
Chứng minh bằng xác suất là một ví dụ cho phép chứng minh sự tồn tại một các chắc chắn bằng các phương pháp trong lý thuyết xác suất.
 
Chứng minh bằng xác suất cũng giống như chứng minh bằng cách xây dựng, chúng đều được dùng để chứng minh các định lý liên quan đến sự tồn tại.
 
Chúng ta không được nhầm lẫn điều trên với việc lập luận rằng một định lý là “có thể” đúng, hoặc một lập luận “có vẻ hợp lý”. Công trình giả định của Collatz (giả thuyết cho rằng nếu cói một số a, a chẳn thì ta đem a chia cho hai được ${{a}_{1}}$ nếu a lẽ ta có ${{a}_{1}}=3a+1$, cứ lặp lại như vậy đến ${{a}_{n}}$ nào đó sẽ có ${{a}_{n}}=1$) chỉ ra rằng sự khác xa nhau từ có vẻ hợp lý đến chứng minh chính thống xác thực.
 
Chứng minh bằng tổ hợp:
 
Chứng minh bằng tổ hợp cho thấy nhiều biểu thức khác nhau tương đương nhau bằng cách chỉ ra cách đếm cùng các đối tượng bằng các cách khác nhau. Một song ánh giữa hai tập hợp thường được dùng để chỉ ra rằng hai vé hai bên là bằng nhau. Ngoài ra, phép đếm bằng hai cách tạo ra hai cách đếm kích thước của chỉ một tập hợp, sau đó lại chỉ ra rằng hai biểu thức đó bằng nhau.
 
Chứng minh không xây dựng:
 
Chứng minh phản xây dựng thiết lập một đối tượng toán học với một tính chất nhất định tồn tại mà không giải thích làm thế nào để có thể tìm được đối tượng đó. Thông thường, nó có hình thức của chứng minh phản chứng trong đó sự không tồn tại của một đối tượng được chứng minh là bất khả thi. Ngược lại, chứng minh bằng cách xây dựng thiết lập phương pháp để tìm ra một đối tượng đặc biệt nào đó có tồn tại. Một ví dụ nổi tiếng của chứng minh không xây dựng là chỉ ra rằng tồn tại hai số vô tỉ $a$ và $b$ sao cho ${{a}^{b}}$ là một số hữu tỉ.
 
Hoặc ${{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}$ là một số hữu tỉ thì chúng ta xong (cho $a=b=\sqrt{2}$), hoặc nếu ${{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}$ là một số vô tỉ nên chúng ta có thể viết $a={{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}$ và $b=\sqrt{2}$. Từ đây có ${{\left( {{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \right)}^{\sqrt{2}}}={{\sqrt{2}}^{2}}=2$, do đó là một trường hợp hữu tỉ của dạng ${{a}^{b}}$.
 
Chứng minh bằng thống kê trong toán học thuần túy:
 
Biểu hiện của từ “chứng minh bằng thống kê” là có thể sử dụng các kỹ thuật và thông tục trong phạm vi của toán học thuần túy, chẳng hạn như liên quan đến mật mã, loạt hỗn độn, và xác suất hay phân tích lý thuyết số. Nó thường ít được dùng trong chứng minh toán học thuần túy mà được dùng nhiều hơn trong một nhánh của toán học là toán thống kê. Xem thêm “chứng minh sử dụng dữ liệu thống kê” bên dưới.
 
Chứng minh bằng trợ lý máy tính:
 
Cho đến thế kỷ XX người ta đã giả định trên nguyên lý thì bất kỳ chứng minh nào cũng có thể được kiểm tra bằng một nhà toán học đủ khả năng để xác nhận tính hợp lý của nó. Tuy nhiên, hiện nay máy tính đã và đang được sử dụng để làm cả hai công việc là chứng minh các định lý và thực hiện các tính toán dài đến nổi vượt quá khả năng kiểm tra của một người hay một nhóm người nào đó; chứng minh đầu tiên về định lý bốn màu là một ví dụ cho việc chứng minh bằng trợ lý máy tính. Nhiều nhà toán học lo ngại về sự xuất hiện của các lỗi trong chương trình máy tính và lỗi thời gian chạy (run-time error) trong các tính toán, gọi là câu hỏi về độ xác thực của chứng minh bằng trợ lý máy tính. Trong thực tế, cơ hội để một lỗi máy tính có thể hủy bỏ cả một cách chứng minh bằng trợ lý máy tính có thể được giảm bằng cách kết hợp khả năng dự đoán và tự kiểm tra lỗi vào các tính toán, và bằng cách phát triển nhiều phương pháp tiếp cận độc lập cùng với các chương trình độc lập. Các lỗi không bao giờ có thể hoàn toàn bị loại trừ trong trường hợp các xác minh bởi chứng minh của con người, hoặc đặc biệt là nếu chứng minh đó có chứa các ngôn ngữ tự nhiên và đòi hởi sự hiểu biết sâu sắc trong toán học.
 
Phát biểu không thể quyết định:
 
Một phát biểu không có thể chứng minh cũng không không thể chứng minh từ một tập hợp các tiên đề được gọi là không thể quyết định (hoặc không quyết định được) từ những mệnh đề đó. Một ví dụ là định đề song song, một điều không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ được bằng các tiên đề còn lại trong hình học Euclid.
 
Những nhà toán học đã chỉ ra rằng có nhiều phát biểu không quyết định được trong ly thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với tiên đề của sự chọn lựa (ZFC), hệ thống tiêu chuẩn của lý thuyết tập hợp trong toán học (giả sử rằng ZFC là phi mâu thuẫn), chúng ta có thể xem thêm danh sách các phát biểu không quyết định được trong ZFC).
 
Trong chứng minh định lý bất toàn của Gödel (định lý một) chỉ ra rằng mọi hệ thống tiên đề của toán học được quan tâm sẽ có những phát biểu không quyết định được.
 
Toán học Heuristic và toán học thực nghiệm:
 
Heuristic Là phương pháp tiếp cận bằng cảm tính, mang tính kinh nghiệm, dùng trong phương pháp “thử và sai” để giải quyết tương đối các bài toán khó. (đối lập phương pháp tiếp cận bằng thuật toán - algorithmic). (ND)
 
Trong khi những nhà toán học đầu tiên như Edoxus xứ Cnidus không sử dụng các chứng minh, từ Euclid đến sự phát triển nền tảng toán học ở thế cuối kỷ XIX và thế kỷ XX, chứng minh là một phần quan trọng không thể thiếu của toán học. Với sự gia tăng sức mạnh tính toán trong nhưng năm 1960, công việc mang tính ý nghĩa được bắt đầu đó là kiểm tra các đối tượng toán học thay vì chỉ trong khuôn khổ chứng minh các định lý, đó là công việc trong toán học thực nghiệm. Tiên phong trong các phương pháp là cố ý thực hiện công việc cuối cùng để có thể được lồng vào trong khuôn khổ chứng minh toán học cổ điển, ví dụ như sự phát triển sớm của hình học fractal, và cuối cùng nó cũng đã được lồng vào.
 
Các khái niệm liên quan:
 
Chứng minh bằng hình ảnh:
 
Mặc dù không phải là một cách chứng minh chính thống hình thức, một hình ảnh biểu diễn của một định lý toán học đôi lúc được gọi là “chứng minh không từ ngữ”. Các bức hình dưới đây cho thấy lịch sử chứng minh bằng hình ảnh của định lý Pythagoras trong trường hợp tam giác $\left( 3;4;5 \right)$.

Chứng minh bằng hình ảnh cho tam giác $\left( 3;4;5 \right)$ của Chou Pei Suan Ching (500-200 BC).

 

Chứng minh trực quan cho định lý Pythagoras bằng cách sắp xếp lại

 

Cách chứng minh khác cho định lý Pythagoras

 
Một số câu đố về ảo ảnh, chẳng hạn như hình vuông bị mất trong khi sắp xếp, có thể được xây dựng bằng cách nào đó khiến cho nó xuất hiện để chứng minh một sự thật được giả định trong toán học nhưng chỉ đúng khi thực hiện với sự hiện diện của những lỗi nhỏ (chẳng hạn như đường được cho là thẳng có một sự uốn cong nhỏ) không đáng kể cho đến khi chúng được kiểm tra một cách chính xác qua các độ dài và các góc bằng cách đo đạc hay tính toán.
 
Chứng minh cơ sở:
 
Chứng minh cơ sở là một phép chứng minh chỉ sử dụng những kỹ thuật cơ bản. Đặc biệt hơn, thuật ngữ được sử dụng trong lý thuyết được tham khảo để không lợi dụng giải tích phức. Vào một vài khoảng thời gian nào đó người ta nghĩ rằng có những thứ chỉ có thể được chứng minh bằng toán học “cao hơn” như việc chứng minh định lý số nguyên tố (định lý này với phát biểu chi tiết khá phức tạp nên không thể đưa vào đây). Tuy nhiên, theo thời gian thì nhiều trong số các kết quả này đã được chứng minh lại mà chỉ cần dùng các kỹ thuật cơ bản.
 
Chứng minh hai cột:
 
Một cách đặc biệt để tổ chức phép chứng minh là bằng hai cột song song thường được sử dụng trong các lớp học hình học cơ sở ở Mỹ. Phép chứng minh được viết thành một loạy các dòng ở hai cột. Trong mỗi dòng, cột bên trái chứa một mệnh đề, trong khi cột bên phải viết các giải thích ngắn gọn cho mệnh đề tương ứng bên trái hoặc một tiên đề, một giả thiết, có thể là một suy luận logic từ mệnh đề trước đó. Cột bên tay trái thường được gọi là “phát biểu” và cột bên phải là “lý do”.

 
Sử dụng ngôn ngữ giao tiếp của “chứng minh toán học”:
 
Từ “chứng minh toán học” thường được sử dụng bởi các giáo dân để đề cập sử dụng phương pháp toán học hoặc tranh luận về các đối tượng toán học, chẳng hạn như các con số, để biểu diễn một số thứ về cuộc sống hằng ngày, hoặc khi các dữ liệu dử dụng trong một lập luận là số. Đôi lúc nó được sử dụng với ý nghĩa “chứng minh thống kê”, đặc biệt là khi được sử dụng để rút ra kết luân từ các dữ liệu.
 
Chứng minh thống kê bằng cách sử dụng dữ liệu:
 
“Chứng minh thống kê” từ dữ liệu đề cập đến ứng dụng của thống kê, phân tích dữ liệu, hoặc phân tích của Bayes để suy ra các mệnh đề liên quan đến xác suất của dữ liệu. Khi sử dụng chứng minh toán học để thiết lập các định lý trong thống kê, thường nó không là một chứng minh mà trong đó các giả định được bắt nguồn từ các phát biểu về xác suất được suy ra đòi hỏi cần có các bằng chứng thực nghiệm phải bắt nguồn từ bên ngoài toán học để kiểm chứng. Trong vật lý, bên cạnh các phương pháp thống kê, “chứng minh thống kê” có thể dẫn đến chuyên ngành phương pháp toán học trong vât lý áp dụng các phân tích dữ liệu trong một thí nghiệm vật lý hạt hay nghiên cứu quan sát thiên văn. “Chứng minh thống kê” cũng có thể tham khảo các dữ liệu thô hoặc một biểu đồ thuyết phục liên quan đến các dữ liệu, chẳng hạn như biểu đồ phân tán, khi các dữ liệu và biểu đồ đủ thuyết phục mà không cần phân tích thêm.
 
Chứng minh logic quy nạp và phân tích của Bayes:
 
Khi xét toán học trong tự nhiên, chứng minh toán học sử logic quy nạp tìm cách thiết lập một mệnh đề với một mức độ chắc chắn nào đó, hoạt động tương tự như xác suất và có thể kém hơn sự chắc chắn. Phân tích của Bayes thiết lập khẳng định với mức độ của một người tin tưởng chủ quan. Không nên nhầm lẫn logic quy nạp với quy nạp toán học.
 
Phép chứng minh như những đối tượng tinh thần:
 
Thuyết tâm lý luận xem các chứng minh toán học như những đối tượng tâm lý hoặc đối tượng thuộc về tinh thần. Những nhà toán học triết học, chẳng hạn như Leibniz, Frege, và Carnap, đã cố gắng phát triển một ngôn ngữ cho những gì họ quan tâm thành ngôn ngữ của tư tưởng, trong đó tiêu chuẩn của chứng minh toán học có thể áp dụng cho khoa học thực nghiệm.
 
Ảnh hưởng của các phương pháp chứng minh toán học bên ngoài toán học:
 
Những nhà triết học toán học chẳng hạn như Spinoza đã cố gắng để xây dựng các lập triêt học trong phương pháp tiên đề, nhờ đó mà các tiêu chuẩn chứng minh toán học có thể được áp dụng đối với lập luận trong triết học nói chung. Những nhà toán học triết học khác thì cố gắng những tiêu chuẩn của chứng minh toán học và các lý do mà không sử dụng chủ nghĩa kinh nghiệm để để đi đến các phát biểu bên ngoài toán học, nhưng lại có sự chắc chắn của các mệnh đề suy luận trong chứng minh toán học, chẳng hạn như lập luận cotigo của Descarte (Cotigo ergo sum có nghĩa là “I am thinking, therefore I exist” – “tôi đang suy nghĩ, do đó tôi tồn tại”).
 
Kết luận:
 
Đôi lúc, các chữ “Q.E.D” được viết để báo hiệu kết thúc một chứng minh. Chữ viết tắt này đầy đủ là “Quod Erat Demonstrandum”, tiếng Latin có nghĩa là “điều đó đã được chứng minh”. Một cách sử dụng thông thường hơn là sử dụng một hình vuông ∎ hoặc một hình chữ nhật □; ký hiệu ∎ được biết đến như một một “bia mộ” hoặc một “halmos” lần đầu tiên để đưa ra như một dấu hiệu kết thúc một chứng minh bởi Paul Halmos (ông cũng là người tuyên bố đã phát minh ra cụm “iff” nghĩa là if and only if – nếu và chỉ nếu). Đôi lúc người ta thường nói “điều này đã được chỉ ra” trong khi viết QED hoặc các ký hiệu trên trong bài thuyết trình trên bảng.
 
Đây là một trong các sản phẩm của nhóm chuyên san EXP, trực thuộc CLB học thuật, khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp. Hồ Chí Minh. Trong hơn 3 năm qua nhóm chúng tôi đã thực hiện các dự án quy mô nhỏ nhằm cải thiện tình trạng giáo dục Việt Nam, hút lại chất xám từ nước ngoài trở về, và hiện đại hóa các công cụ Toán học trong nước.