Tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song

1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

        Cho đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\,.\] Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a.     Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] không có điểm chung, tức là:

\[a \cap \left[ P \right] = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left[ P \right].\]

b.     Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chỉ có một điểm chung, tức là:

\[a \cap \left[ P \right] = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\] cắt \[\left[ P \right]\] tại \[A\,.\]

c.     Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có hai điểm chung, tức là:

\[a \cap \left[ P \right] = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left[ P \right]\,.\]

1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng \[a\] không nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và song song với một đường thẳng nào đó trong \[\left[ P \right]\] thì \[a\] song song với \[\left[ P \right]\,.\]

Tức là, \[a \not\subset \left[ P \right]\] thì nếu:

\[a\parallel d \subset \left[ P \right] \Rightarrow a\parallel \left[ P \right].\]

1.3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] thì mọi mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] chứa \[a\] mà cắt \[\left[ P \right]\] thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \[a\,.\]

Tức là, nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left[ P \right]\\a \subset \left[ Q \right]\,\,\,\,\left[ {\left[ Q \right] \cap \left[ P \right] = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\]

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. 

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến [nếu có] của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\\\left[ P \right]\parallel a\\\left[ Q \right]\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\]

Hệ quả 3: Nếu \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \[a\] có một và chỉ một mặt phẳng song song với \[b\,.\]

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \[d\] songsong với mặt phẳng  \[\left[ \alpha  \right]\] ta chứng minh \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left[ \alpha  \right]\].

Ví dụ 1: 

Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \[O\] và \[O'\].

a] Chứng minh \[OO'\] song song với các mặt phẳng \[\left[ {ADF} \right]\] và \[\left[ {BCE} \right]\].

b] Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm trên các cạnh \[AE,BD\] sao cho \[AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[\left[ {CDEF} \right]\].

Hướng dẫn:

a] Ta có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[BDF\] ứng với cạnh \[DF\] nên \[OO'\parallel DF\], \[DF \subset \left[ {ADF} \right]\]

\[ \Rightarrow OO'\parallel \left[ {ADF} \right]\].

Tương tự, \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[ACE\] ứng với cạnh \[CE\] nên \[OO'\parallel CE\], \[CE \subset \left[ {CBE} \right] \Rightarrow OO'\parallel \left[ {BCE} \right]\].

b] Trong \[\left[ {ABCD} \right]\], gọi \[I = AN \cap CD\]

Do \[AB\parallel CD\] nên \[\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\].

Lại có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\]\[ \Rightarrow MN\parallel IE\]. Mà \[I \in CD \Rightarrow IE \subset \left[ {CDEF} \right] \Rightarrow MN\parallel \left[ {CDEF} \right]\].

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \[\left[ \alpha  \right]\] đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \[\left[ \alpha  \right]\] chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \alpha  \right]\parallel d\\d \subset \left[ \beta  \right]\\M \in \left[ \alpha  \right] \cap \left[ \beta  \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \alpha  \right] \cap \left[ \beta  \right] = d'\parallel d,M \in d'\]

Ví dụ 2: 

Cho hình chóp \[S.ABCD\], \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc cạnh \[AB\] và \[CD\], \[\left[ \alpha  \right]\] là mặt phẳng qua \[MN\] và song song với \[SA\].

a] Xác định thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] khi cắt bởi\[\left[ \alpha  \right]\].

b] Tìm điều kiện của \[MN\] để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

a] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left[ \alpha  \right] \cap \left[ {SAB} \right]\\\left[ \alpha  \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAB} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ \alpha  \right] = MQ\parallel SA,Q \in SB\].

Trong \[\left[ {ABCD} \right]\] gọi \[I = AC \cap MN\]

\[\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left[ \alpha  \right]\\I \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left[ \alpha  \right] \cap \left[ {SAC} \right]\]

Vậy \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha  \right]\\\left[ \alpha  \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha  \right] = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\]

Từ đó ta có \[\left[ \alpha  \right] \cap \left[ {SBC} \right] = PQ,\left[ \alpha  \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP\].

Thiết diện là tứ giác \[MNPQ\].

b] Tứ giác \[MNPQ\] là một hình thang khi \[MN\parallel PQ\] hoặc \[MQ\parallel NP\].

Trường hợp 1:

Nếu \[MQ\parallel NP\] thì ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\]

Mà \[NP \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow SA\parallel \left[ {SCD} \right]\] [vô lí].

Trường hợp 2:

Nếu \[MN\parallel PQ\]thì ta có các mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right],\left[ \alpha  \right],\left[ {SBC} \right]\]đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \[MN,BC,PQ\] nên \[MN\parallel BC\].

Đảo lại nếu \[MN\parallel BC\]thì \[\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left[ \alpha  \right]\\BC \subset \left[ {SBC} \right]\\PQ = \left[ \alpha  \right] \cap \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow MN\parallel PQ\] nên tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.

Vậy để tứ giác \[MNPQ\] là hình thang thì điều kiện là \[MN\parallel BC\].

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng  d và mặt phẳng [P]. Tùy theo số điểm chung của d và [P], ta có ba trường hợp:

Trường hợp 1: d và [a] không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với [P] hay [P] song song với d và kí hiệu là: d // [P] hay [P] // d.

Trường hợp 2: d và [P] có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và [P] cắt nhau tại M và kí hiệu là:

d ∩ [P] = {M} hay d ∩ [P] = M

Trường hợp 3: d và [P] có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong [P] hay [P] chứa d và kí hiệu:

d ⊂ [a] hay [a] d

Tính chất :

Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng [P] và d song song với đường thẳng d’ nằm trong [P] thì d song song với [a].

 Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng [P]. Nếu mặt phẳng [Q] chứa a và cắt [P] theo giao tuyến b thì b song song với a.

Hệ quNếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Video liên quan

Chủ Đề