1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\,.\] Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] không có điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left[ P \right].\]
b. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chỉ có một điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\] cắt \[\left[ P \right]\] tại \[A\,.\]
c. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có hai điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left[ P \right]\,.\]
1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng \[a\] không nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và song song với một đường thẳng nào đó trong \[\left[ P \right]\] thì \[a\] song song với \[\left[ P \right]\,.\]
Tức là, \[a \not\subset \left[ P \right]\] thì nếu:
\[a\parallel d \subset \left[ P \right] \Rightarrow a\parallel \left[ P \right].\]
1.3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] thì mọi mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] chứa \[a\] mà cắt \[\left[ P \right]\] thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \[a\,.\]
Tức là, nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left[ P \right]\\a \subset \left[ Q \right]\,\,\,\,\left[ {\left[ Q \right] \cap \left[ P \right] = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\]
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến [nếu có] của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\\\left[ P \right]\parallel a\\\left[ Q \right]\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\]
Hệ quả 3: Nếu \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \[a\] có một và chỉ một mặt phẳng song song với \[b\,.\]
Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng \[d\] songsong với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] ta chứng minh \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left[ \alpha \right]\].
Ví dụ 1:
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \[O\] và \[O'\].
a] Chứng minh \[OO'\] song song với các mặt phẳng \[\left[ {ADF} \right]\] và \[\left[ {BCE} \right]\].
b] Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm trên các cạnh \[AE,BD\] sao cho \[AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[\left[ {CDEF} \right]\].
Hướng dẫn:
a] Ta có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[BDF\] ứng với cạnh \[DF\] nên \[OO'\parallel DF\], \[DF \subset \left[ {ADF} \right]\]
\[ \Rightarrow OO'\parallel \left[ {ADF} \right]\].
Tương tự, \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[ACE\] ứng với cạnh \[CE\] nên \[OO'\parallel CE\], \[CE \subset \left[ {CBE} \right] \Rightarrow OO'\parallel \left[ {BCE} \right]\].
b] Trong \[\left[ {ABCD} \right]\], gọi \[I = AN \cap CD\]
Do \[AB\parallel CD\] nên \[\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\].
Lại có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\]\[ \Rightarrow MN\parallel IE\]. Mà \[I \in CD \Rightarrow IE \subset \left[ {CDEF} \right] \Rightarrow MN\parallel \left[ {CDEF} \right]\].
Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \[\left[ \alpha \right]\] chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \alpha \right]\parallel d\\d \subset \left[ \beta \right]\\M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right] = d'\parallel d,M \in d'\]
Ví dụ 2:
Cho hình chóp \[S.ABCD\], \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc cạnh \[AB\] và \[CD\], \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng qua \[MN\] và song song với \[SA\].
a] Xác định thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] khi cắt bởi\[\left[ \alpha \right]\].
b] Tìm điều kiện của \[MN\] để thiết diện là một hình thang.
Hướng dẫn:
a] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAB} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ \alpha \right] = MQ\parallel SA,Q \in SB\].
Trong \[\left[ {ABCD} \right]\] gọi \[I = AC \cap MN\]
\[\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left[ \alpha \right]\\I \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right]\]
Vậy \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right] = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\]
Từ đó ta có \[\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right] = PQ,\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP\].
Thiết diện là tứ giác \[MNPQ\].
b] Tứ giác \[MNPQ\] là một hình thang khi \[MN\parallel PQ\] hoặc \[MQ\parallel NP\].
Trường hợp 1:
Nếu \[MQ\parallel NP\] thì ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\]
Mà \[NP \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow SA\parallel \left[ {SCD} \right]\] [vô lí].
Trường hợp 2:
Nếu \[MN\parallel PQ\]thì ta có các mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right],\left[ \alpha \right],\left[ {SBC} \right]\]đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \[MN,BC,PQ\] nên \[MN\parallel BC\].
Đảo lại nếu \[MN\parallel BC\]thì \[\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left[ \alpha \right]\\BC \subset \left[ {SBC} \right]\\PQ = \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow MN\parallel PQ\] nên tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.
Vậy để tứ giác \[MNPQ\] là hình thang thì điều kiện là \[MN\parallel BC\].
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Tùy theo số điểm chung của d và [P], ta có ba trường hợp:
Trường hợp 1: d và [a] không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với [P] hay [P] song song với d và kí hiệu là: d // [P] hay [P] // d.
Trường hợp 2: d và [P] có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và [P] cắt nhau tại M và kí hiệu là:
d ∩ [P] = {M} hay d ∩ [P] = M
Trường hợp 3: d và [P] có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong [P] hay [P] chứa d và kí hiệu:
d ⊂ [a] hay [a] ⊂ d
Tính chất :
Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng [P] và d song song với đường thẳng d’ nằm trong [P] thì d song song với [a].
Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng [P]. Nếu mặt phẳng [Q] chứa a và cắt [P] theo giao tuyến b thì b song song với a.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.