\[A = \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 5}{2x + 1} = \frac{x^2[2x + 1] + [2x + 1] + 4}{2x + 1}\]\[= \frac{[2x + 1][x^2 + 1] + 4}{2x + 1} = x^2 + 1 + \frac{4}{2x + 1}\].Nếu tồn tại giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên thì \[x^2 + 1\] có giá trị nguyên và \[\frac{4}{2x + 1}\] cũng có giá trị nguyên. Do đó 2x + 1 phải là ước của 4. Tập hợp các ước của 4 là \[\begin{Bmatrix} -4, -2, -1, 1, 2, 4 \end{Bmatrix}\] + Nếu \[2x + 1 = -4\] thì \[2x = -5; x = \frac{-5}{2}\] không là số nguyên.
+ Nếu \[2x + 1 = -2\] thì \[2x = -3; x = \frac{-3}{2}\] không là số nguyên....
Mục lục
1. Dạng câu hỏi thường gặp [edit]
2. Phương pháp giải [edit]
Dạng 1. Tìm giá trị của \[x\] nguyên để biểu thức chứa biến \[x\] có giá trị nguyên.
Dạng 2. Tìm giá trị \[x\] là số thực để biểu thức chứa biến \[x\] có giá trị nguyên.
Chú ý:
Trong các đề thi vào lớp 10, biểu thức sau khi rút gọn thường ở dạng phân thức.
Dạng 1. Ta xét tính chia hết giữa tử số và mẫu số.
Dạng 2. Ta tìm các chặn khoảng giá trị của biểu thức chứa biến \[x\] [ giả sử là biểu thức\[P\]] khi đó do \[P\] có giá trị nguyên nên ta chỉ có thể tìm được giá trị của \[P\]. Từ đó tìm được giá trị biến \[x\]
Ví dụ:
Cho biểu thức \[P=\dfrac{7}{\sqrt x+3}\,\,\,[x \ge 0]\].
a] Tìm các giá trị \[x\] nguyên để biểu thức \[P\] có giá trị nguyên.
b] Tìm các giá trị \[x\] để biểu thức \[P\] có giá trị nguyên.
Giải :
==========================
Điều kiện xác định: \[x \ge 0\]
\[P\] có giá trị là số nguyên \[\Leftrightarrow \] \[\dfrac{7}{\sqrt x +3}\] cũng phải nguyên.
\[ \Rightarrow \sqrt x+3\] là số hữu tỉ
\[ \Rightarrow \sqrt x\] là số hữu tỉ
Do \[x\] là số nguyên nên ta phải có \[x\] là số chính phương
\[ \Rightarrow \sqrt x\] là số nguyên
Do đó để \[\dfrac{7}{\sqrt x +3}\] có giá trị nguyên thì \[\sqrt x +3\] phải là ước của \[7\].
Nhận xét rằng với \[x \ge 0\] thì \[\sqrt x +3\] là một số dương lớn hơn hoặc bằng \[3\]. Do vậy chỉ có trường hợp thỏa mãn đó là:
\[\sqrt x +3=7 \Leftrightarrow x=16\] [ thảo mãn điều kiện xác đinh]
Vậy \[x=16\] thì \[P\] có giá trị nguyên.
======================================
b] Nhận xét với \[x\] thỏa mãn điều kiện xác định thì \[P>0\].
Do \[x \ge 0\] nên \[\sqrt x +3\ge 3\] suy ra \[\dfrac{7}{\sqrt x +3}\ \leq \dfrac{7}{3}\]. Vậy \[0 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho
Ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:
Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.
- Với Q = 1, ta có:
Đặt
t2 - 3t + 1 = 0
Giải phương trình bậc 2 này ta được:
- Với Q = 2, ta có:
Vậy Q nhận giá trị nguyên khi
C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên
* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên
b]
* Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên
Hy vọng với bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.