Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
A. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 27
B. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 27
C. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 9
D. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 9
Lời giải:
Chọn B
Mặt phẳng Oxyz là: z = 0
Gọi A = d ∩ [Oxyz] ⇒ t = –3 ⇒ A[–2; 5; 0]
Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là
Phương trình mặt cầu [S] tâm và bán kính I[–1; 2; –3] và bán kính là
[x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 27
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu [S] có tâm là điểm I[–1; 2; –3] và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của [S] là:
A. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 13
B. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 27
C. [x + 1]2 + [y – 2]2 + [z + 3]2 = 13
D. [x + 1]2 + [y – 2]2 + [z + 3]2 = 27
Lời giải
Chọn C
Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox ⇒ A[–1; 0; 0].
Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là
Phương trình mặt cầu [S] tâm I[–1; 2; –3] và bán kính là
[x + 1]2 + [y – 2]2 + [z + 3]2 = 13
Câu 3: Mặt cầu [S] tâm I[–1; 2; –3] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x + 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là:
Câu 4: Mặt cầu [S] tâm I[2; 1; 5] và tiếp xúc với mặt cầu [S1]: [x – 1]2 + y2 + z2 = 3 có phương trình:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Từ [S1]: [x – 1]2 + y2 + z3 = 3 ⇒ Tâm I1[1; 0; 0] và bán kính
Do vậy điểm I[2; 1; 5] nằm ngoài mặt cầu [S1]: [x – 1]2 + y2 + z2 = 3
Ta có pt đường thẳng II1 là
Gọi A = II1 ∩ [S1] ⇒ A[1 – t; –t; –5t]. Do A ∈ [S1] nên
Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là: [x – 2]2 + [y – 1]2 + [z – 5]2 = 12
Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là: [x – 2]2 + [y – 1]2 + [z – 5]2 = 48
Câu 5: Mặt cầu [S] tâm I[1; 2; 4] và tiếp xúc với mặt phẳng [S1]: [x + 1]2 + y2 + [z – 2]2 = 27 có phương trình:
A. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 4]2 = 3
B. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 4]2 = 9
C. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 4]2 = 3
D. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 4]2 = 9
Lời giải
Chọn C
Từ [S1]: [x + 1]2 + y2 + [z – 2]2 = 27, tâm I1[–1; 0; 2] và bán kính
Do vậy điểm I[1; 2; 4] nằm trong mặt cầu [S1]
[S] và [S1] tiếp xúc
Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là: [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 4]2 = 3
Câu 6: Mặt cầu [S] tâm I[–1; 2; 3] và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ [Oyz] có phương trình:
A. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 1
B. [x + 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 14
C. [x + 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 1
D. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 14
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng [Oyz]: x = 0
Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là: [x + 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 1
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A[1; 3; 2], B[3; 5; 0]. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
A. [x – 2]2 + [y – 4]2 + [z – 1]2 = 3
B. [x – 2]2 + [y – 4]2 + [z – 1]2 = 12
C. [x + 2]2 + [y + 4]2 + [z + 1]2 = 12
D. [x + 2]2 + [y + 4]2 + [z + 1]2 = 3
Lời giải
Chọn A
Trung điểm của đoạn thẳng AB là
Mặt cầu đường kính AB có tâm I[2; 4; 1], bán kính
Vậy phương trình của mặt cầu là: [x – 2]2 + [y – 4]2 + [z – 1]2 = 3
Câu 8: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt cầu [S] biết [S] có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] tại điểm M[1; 2; 0]
A. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0
B. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 5 = 0
C. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 11 = 0
D. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 11 = 0
Lời giải
Chọn A
Giả sử mặt cầu [S] có tâm I[a; b; c]
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] tại điểm M[1; 2; 0] nên M là hình chiếu của I[a; b; c] lên mp [Oxy] suy ra I[2; 1; c]
Ta có mp [Oxy] có phương trình là z = 0
Ta có
Với c = 3
Mặt cầu I[2; 1; 3], bán kính R = 3 có phương trình là:
[x – 2]2 + [y – 1]2 + [z – 3]2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0
Với c = –3
Mặt cầu I[2; 1; –3], bán kính R = 3 có phương trình là:
[x – 2]2 + [y – 1]2 + [z + 3]2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 5 = 0
Câu 9: Phương trình mặt cầu [S] đi qua A[1; 2; 3], B[4; –6; 2] có tâm I thuộc trục Ox là
A. [S]: [x – 7]2 + y2 + z2 = 6
B. [S]: [x + 7]2 + y2 + z2 = 36
C. [S]: [x + 7]2 + y2 + z2 = 6
D. [S]: [x – 7]2 + y2 + z2 = 49
Lời giải
Chọn D
Vì I ∈ Ox nên gọi I[x; 0; 0].
Do [S] đi qua A, B nên
Suy ra I[7; 0; 0] ⇒ R = IA = 7
Do đó [S]: [x – 7]2 + y2 + z2 = 49
Câu 10: Phương trình mặt cầu [S] đi qua A[2; 0; –2], B[–1; 1; 2] và có tâm I thuộc trục Oy là
A. [S]: x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0
B. [S]: x2 + y2 + z2 – 2y – 8 = 0
C. [S]: x2 + y2 + z2 + 2y + 8 = 0
D. [S]: x2 + y2 + z2 – 2y + 8 = 0
Lời giải
Chọn A
Vì I ∈ Oy nên gọi I[0; y; 0].
Do [S] đi qua A, B nên
Suy ra I[70; –1; 0] ⇒ R = IA = 3
Do đó [S]: x2 + [y + 1]2 + z2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0
Câu 11: Phương trình mặt cầu [S] đi qua A[1; 2; –4], B[1; –3; 1], C[2; 2; 3] và tâm I ∈ [Oxy] là
A. [x + 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 26
B. [x + 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 9
C. [x – 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 26
D. [x – 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 9
Lời giải
Chọn A
Vì I ∈ [Oxy] nên gọi I[x; y; 0]. Ta có:
Câu 12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M[2; 1; 1]
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Giả sử I[a; b; c] là tâm mặt cầu [S] tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M[2; 1; 1].
Vì mặt cầu [S] tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M[2; 1; 1] có các thành phần tọa độ đều dương nên a = b = c = r
Phương trình mặt cầu [S] là [x – a]2 + [y – b]2 + [z – a]2 = a2
Vì mặt cầu [S] đi qua điểm M[2; 1; 1] nên
Câu 13: Cho mặt cầu [S] có tâm I[1; 2; –4] và thể tích bằng 36π. Phương trình của [S] là
A. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z + 4]2 = 9
B. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 4]2 = 9
C. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z – 4]2 = 9
D. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z + 4]2 = 3
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Khi đó [S] có tâm I[1; 2; –4] và bán kính R = 3
⇒ [S]: [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z + 4]2 = 9
Câu 14: Cho mặt cầu [S] có tâm I[1; 2; 3] và diện tích bằng 32π. Phương trình của [S] là
A. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 16
B. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 16
C. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 8
D. [x + 1]2 + [y + 2]2 + [z + 3]2 = 8
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Khi đó [S] có tâm I[1; 2; 3] và bán kính
⇒ [S]: [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z – 3]2 = 8
Câu 15: Cho mặt cầu [S] có tâm I[1; 2; 0]. Một mặt phẳng [P] cắt [S] theo giao tuyến là một đường tròn [C]. Biết diện tích lớn nhất của [C] bằng 3π. Phương trình của [S] là
A. x2 + [y – 2]2 + z2 = 3
B. [x – 1]2 + [y – 2]2 + z2 = 3
C. [x – 1]2 + [y – 2]2 + [z + 1]2 = 9
D. [x – 1]2 + [y – 2]2 + z2 = 9
Lời giải
Chọn B
Nhận xét: Mặt phẳng [P] cắt [S] theo giao tuyến là một đường tròn [C] và diện tích của [C] lớn nhất khi [P] qua tâm I của [S].
Ta có:
Khi đó [S] có tâm I[1; 2; 0] và bán kính
⇒ [S]: [x – 1]2 + [y – 2]2 + z2 = 3
Câu 16: Cho mặt cầu [S] có tâm I[1; 1; 1]. Một mặt phẳng [P] cắt [S] theo giao tuyến là một đường tròn [C]. Biết chu vi lớn nhất của [C] bằng . Phương trình của [S] là
A. [x – 1]2 + [y – 1]2 + [z – 1]2 = 4
B. [x + 1]2 + [y + 1]2 + [z + 1]2 = 2
C. [x + 1]2 + [y + 1]2 + [z + 1]2 = 4
D. [x – 1]2 + [y – 1]2 + [z – 1]2 = 2
Lời giải
Chọn D
Đường tròn [C] đạt chu vi lớn nhất khi [C] đi qua tâm I của mặt cầu [S].
Ta có:
Khi đó [S] có tâm I[1; 1; 1] và bán kính
⇒ [S]: [x – 1]2 + [y – 1]2 + [z – 1]2 = 2
Câu 17: Cho I[1; –2; 3]. Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho
A. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 16
B. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 20
C. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 25
D. [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 9
Lời giải
Chọn A
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I[1; –2; 3] trên trục Ox
⇒ M [1; 0; 0] và M là trung điểm của AB
Ta có:
∆IMA vuông tại M
Phương trình mặt cầu cần tìm là: [x – 1]2 + [y + 2]2 + [z – 3]2 = 16
Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt cầu đi qua A[2; 3; –3], B[2; –2; 2], C[3; 3; 4] và có tâm nằm trên mặt phẳng [Oxy].
A. [x – 6]2 + [y – 1]2 + z2 = 29
B. [x + 6]2 + [y + 1]2 + z2 = 29
C. [x + 6]2 + [y – 1]2 + z2 = 29
D. [x – 6]2 + [y + 1]2 + z2 = 29
Lời giải
Chọn A
Giả sử I[a; b; 0] ∈ [Oxy] là tâm, r là bán kính của mặt cầu [S] và đi qua A[2; 3; –3], B[2; –2; 2], C[3; 3; 4]
Phương trình mặt cầu [S] là [x – a]2 + [y – b]2 + z2 = r2
Vì mặt cầu đi qua A[2; 3; –3], B[2; –2; 2], C[3; 3; 4] nên
Vậy phương trình mặt cầu [S] là [x – 6]2 + [y – 1]2 + z2 = 29
Câu 19: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A[1; 2; –4], B[1; –3; 1], C[2; 2; 3], D[1; 0; 4]. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. [x + 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 26
B. [x – 2]2 + [y + 1]2 + z2 = 26
C. [x + 2]2 + [y + 1]2 + z2 = 26
D. [x – 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 26
Lời giải
Chọn A
Giả sử [S]: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 [a2 + b2 + c2 – d > 0] là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thay lần lượt tọa độ của A, B, C, D vào phương trình ta được
Do đó: I[–2; 1; 0] và bán kính
Vậy [S]: [x + 2]2 + [y – 1]2 + z2 = 26
Câu 20: Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm I[1; 0; 3] và cắt d: tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương và P[1; –1; 1] ∈ d
Ta có:
Suy ra
∆IAB vuông tại I ⇔ ∆IAB vuông cân tại I
Vậy [S]: