Phương trình hàm số lượng giác 11

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a] Phương trình \[\sin x = a\]

+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.

+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\sin x = a\] có các nghiệm \[x = \arcsin a + k2\pi \] và\[x = \pi  - \arcsin a + k2\pi \]

Đặc biệt:

+] \[\sin f[x] = \sin \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha  + k2\pi \\f[x] = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]

+] \[\sin f[x] = \sin {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = {180^0} - \beta  ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]

b] Phương trình \[\cos x = a\]

+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.

+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\cos x = a\] có các nghiệm \[x = \arccos a + k2\pi \] và  \[x =  - \arccos a + k2\pi \]

Đặc biệt:

+] \[\cos f[x] = \cos \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha  + k2\pi \\f[x] =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]

+] \[\cos f[x] = \cos {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] =  - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]

c] Phương trình \[\tan x = a\]

Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan a + k\pi \].

Đặc biệt:

+] \[\tan x = \tan \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]

+] \[\tan x = \tan {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\]

d] Phương trình \[\cot x = a\]

Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \].

Đặc biệt:

+] \[\cot x = \cot \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]

+] \[\cot x = \cot {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z\]

e] Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình \[\sin x = a\]

\[ + \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\] 

\[ + \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]

\[ + \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]  

* Phương trình \[\cos x = a\]

\[ + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]

\[ + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \]

\[ + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Loigiaihay.com

Giải các phương trình sau:

a] \[\sin \left[ {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right]=0\].

b] \[\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\].

c] \[\sin 3x = \frac{1}{2}\].

d] \[\sin x = \frac{2}{3}\].

Lời giải:

a] \[\sin \left[ {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right]=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\]

\[\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\], \[k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy phương trình có các nghiệm là: \[\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\],  \[k \in \mathbb{Z}.\]

b] \[\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]

Vậy phương trình có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\] và \[x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\] 

c] \[\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]

Vậy phương trình có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\] và \[x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\].

d] \[\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in\mathbb{Z} } \right]\]

Vậy phương trình có các nghiệm là \[x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\] và \[x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\]

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a] \[\cos \left[ {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right] = - \frac{1}{2}\].

b] \[\cos \left[ {x + {{45}^0}} \right] = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Lời giải: 

a] \[\cos \left[ {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right] = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy phương trình có các nghiệm là: \[{x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\] và \[{x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\]

b] \[\cos \left[ {x + {{45}^0}} \right] = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left[ {x + {{45}^0}} \right] = c{\rm{os}}{45^0}\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right].\]

Vậy phương trình có các nghiệm là: \[{x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\] và \[{x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\]

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a] \[\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\].

b] \[\tan [x - {15^0}] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

Lời giải: 

a] \[\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left[ {k \in\mathbb{Z} } \right].\]

b] \[\tan [x - {15^0}] = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\] \[\tan [x - {15^0}] = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy các nghiệm của phương trình là \[x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\]

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a] \[\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\].

b] \[\cot 4x = - 3.\]

c] \[\cot \left[ {2x - \frac{\pi }{6}} \right] = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

Lời giải: 

a] \[\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\] \[\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy các nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\]

b] \[\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left[ { - 3} \right] + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left[ { - 3} \right] + k\frac{\pi }{4},\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right].\]

Vậy các nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{1}{4}\arctan \left[ { - 3} \right] + k\frac{\pi }{4},\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right].\]

c] \[\cot \left[ {2x - \frac{\pi }{6}} \right] = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left[ {2x - \frac{\pi }{6}} \right] = \cot \frac{\pi }{6}\]

\[\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\]

\[\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left[ {k \in\mathbb{Z} } \right].\]

Vậy các nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left[ {k \in\mathbb{Z} } \right].\]

Tuyển chọn các tài liệu môn Toán hay nhất về chủ đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11, có đáp án và lời giải chi tiết.

Các tài liệu về chủ đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác với đầy đủ các dạng toán và phương pháp giải sẽ được TOANMATH.com cập nhật thường xuyên nhằm giúp bạn đọc nhanh chóng tiếp cận các dạng toán mới và các phương pháp giải toán mới – nhanh – độc đáo. Thầy, cô giáo và bạn đọc có thể đóng góp tài liệu hàm số lượng giác và phương trình lượng giác do mình biên soạn bằng cách gửi về địa chỉ [email protected] nhằm tạo nguồn tư liệu học tập phong phú và đa dạng.