Như đối xứng được gọi là thư từ chính xác được xác minh trên hình dạng, kích thước và vị trí của các bộ phận của một đối tượng như một toàn thể . Từ xuất phát từ tiếng Latin Symmetria , và điều này lần lượt từ συμμετρία Hy Lạp [Symmetria].
Đối xứng, như vậy, là một khái niệm liên quan đến các ngành khác nhau như hình học, vẽ, thiết kế đồ họa, kiến trúc và các nghệ thuật khác. Ngoài ra, chúng ta có thể tìm thấy các ngành khoa học như sinh học, vật lý, hóa học và toán học.
Đối xứng trong hình học
Trong Hình học, tính đối xứng được gọi là sự tương ứng chính xác được đăng ký trong sự sắp xếp thường xuyên của các bộ phận hoặc các điểm tạo nên một cơ thể hoặc hình, được xem xét liên quan đến một tâm, trục hoặc mặt phẳng. Do đó, các loại đối xứng khác nhau được xác minh:
- Đối xứng hình cầu: nó là một trong những kiểu xảy ra dưới bất kỳ kiểu quay nào. Đối xứng trục [còn được gọi là quay , hướng tâm hoặc hình trụ ] : đó là một sự xuất hiện từ một trục, có nghĩa là bất kỳ phép quay nào được tạo ra từ trục đó không dẫn đến bất kỳ thay đổi nào về vị trí trong không gian. Đối xứng phản xạ hoặc đối xứng: nó được xác định bởi sự tồn tại của một mặt phẳng trong đó một nửa là sự phản xạ của mặt kia. Đối xứng tịnh tiến hoặc tịnh tiến: đó là một đối tượng được xác minh trong một đối tượng hoặc hình khi nó được lặp lại ở một khoảng cách luôn giống hệt với trục và dọc theo một đường có thể được đặt ở bất kỳ vị trí nào và có thể là vô hạn.
Đối xứng trong sinh học
Trong Sinh học, vì tính đối xứng được gọi là sự tương ứng được nhận ra trong cơ thể của động vật hoặc thực vật, lấy làm điểm tham chiếu một trung tâm, trục hoặc mặt phẳng, liên quan đến các cơ quan hoặc các bộ phận tương đương được sắp xếp theo thứ tự. Hầu hết các sinh vật đa bào có cơ thể trong đó một số dạng đối xứng được nhận ra, do đó, có thể biểu hiện theo hai cách:
- Đối xứng xuyên tâm: nó là một đối tượng được trình bày bởi các sinh vật có cơ thể có thể được chia cho hai hoặc nhiều mặt phẳng. Loại sinh vật này có các bộ phận tương tự được sắp xếp xung quanh một trục trung tâm chung, chẳng hạn như nhím hoặc sao biển. Đối xứng song phương: đặc tính đó của các sinh vật có thể được chia thành hai nửa bằng nhau, để cả hai nửa tạo thành hình ảnh bằng nhau, chẳng hạn như con người hoặc chó.
Đối xứng và bất đối xứng
Sự bất đối xứng là đối nghịch của đối xứng. Như vậy, chúng ta có thể định nghĩa nó là sự thiếu tương ứng hoặc cân bằng giữa hình dạng, kích thước và vị trí của các bộ phận của tổng thể. Do đó, sự bất đối xứng biểu hiện là sự thiếu tương đương giữa các tính năng tạo nên sự xuất hiện của một đối tượng hoặc hình.
3. Một số tính chất của quan hệb] Tính đối xứng [Symmetry]:R đối xứng [symmetric relation]⇔ ∀a,b ∈A, aRb ⇒ bRaVí dụ 3.5:A={1,2,3}, xét quan hệ trên AR3 = {[1,1], [3,2], [1,3], [3,1], [2,3]} là quan hệ đối xứngR4 = {[2,1], [1,2], [3,2], [1,3], [3,1], [3,3]} là quan hệ khôngđối xứng 3. Một số tính chất của quan hệVí dụ 3.6: Chọ tập A={Con người}, Xét quan hệ R ≡ “Quenbiết” được định nghĩa như sau:∀x,y∈A, xRy ⇔ “x quen biết với y”Quan hệ này có tính phản xạ, và đối xứngVí dụ 3.7: Xét quan hệ R:“Láng giềng” trên tập T={các tỉnhThành phố} được định nghĩa:∀x,y∈T, xRy ⇔ “x có phần ranh giới chung với y”Quan hệ “Láng giềng” cũng có tính đối xứng.Ví dụ 3.8:Quan hệ “=“ trên tập A bất kỳ quan hệ có tính đốixứngVí dụ 3.9: Quan hệ “≤“ trên R không có tính đối xứng. 3. Một số tính chất của quan hệc] Tính phản xứng [Antisymmetry]:R phản xứng [Antisymmetric relation]⇔∀a,b∈A, [aRb] ∧[bRa] ⇒ a=bVí dụ 3.10: Quan hệ “≤” trên tập số thực R, có tính phản xứng.Vì: ∀x,y∈R, [x≤y ] ∧ [y ≤x] ⇒ x= yVí dụ 3.11: Cho tập A={1,2,3,4} và quan hệ R trên A là:R1={[1,1],[2,3],[2,2],[4,3],[4,4]}R1 không có tính phản xạ, nhưng có tính phản xứng.R2={[1,1],[3,3],[4,4]} : Đối xứng, phản xứng 3. Một số tính chất của quan hệd] Tính bắt cầu [Transitive]:R có tính bắt cầu ⇔ ∀x,y∈A [xRy ∧ yRz] ⇒ xRzVí dụ 3.12:Các quan hệ “=“, “ ≤” trên R là các quan hệ có tính bắt cầuQuan hệ ”≠” trên R không có tính bắt cầu?Quan hệ “//” trên L là quan hệ có tính bắt cầu.Quan hệ “ ⊥” trên L là quan hệ không có tính bắt cầu.Quan hệ đồng dư modulo n trên Z là quan hệ có tính bắtcầu. 3. Một số tính chất của quan hệ [tt]Ví dụ 3.13: Xét quan hệ đồng dư modulo n trên z.∀a,b∈z, a≡b[mod n] ⇔ a-b chia hết cho n. Ta có: ∀a∈z, a-a = 0 chia hết cho n. Hay ∀ a∈z, a≡a[mod n]Vậy ≡[mod n] có tính phản xạ. ∀a,b∈z, a≡b[mod n] ⇔ a-b chia hết cho n⇒a-b=kn với k∈z ⇒b-a=-kn⇒b-a chia hết cho n ⇒ b≡a[mod n]Vậy ≡[mod n] có tính đối xứng ∀a,b,c∈z, a≡b[mod n] và b≡c[mod n]⇔ a – b = k1n và b-c = k2n với k1, k2∈z⇒ a-c = [a-b]+[b-c]=[k1+k2]n hay a-c chia hết cho n.Hay a≡c[mod n] . vậy ≡[mod n] có tính bắt cầu 3. Một số tính chất của quan hệVí dụ 3.14: A={Các tỉnh/Thành phố}R: “Láng giềng” [xem ví dụ trước]R: có tính phản xạ, đối xứng, nhưng không có tính phảnxứng, và không có tính bắt cầu.Ví dụ 3.15: A={Người}; R:”Quen biết” [xem ví dụ trước]R: Không có tính bắt cầuVí dụ 3.16: A={người}, Xét quan hệ R:”Anh em” được địnhnghĩa:∀x,y∈A, xRy ⇔ x có cùng cha mẹ với yR: có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Một số tính chất của quan hệNhận biết quan hệ có tính phản xạ, phản xứng, đối xứng quama trận biểu diễn quan hệ: 4. Quan hệ tương đươngĐịnh nghĩa 4.1: Quan hệ R trên tập hợp A gọi là quan hệtương đương nếu thỏa các tính chất: Phản xạ, đối xứng vàbắc cầuVí dụ 4.1: Xét quan hệ R trên tập số nguyên z được địnhnghĩa: ∀m,n∈ z, mRn ⇔ “m cùng tính chất chẵn lẻ với n”Ta có: ∀m ∈ z , m cùng tính chẵn lẻ với chính nó. Vậy R phản xạ.∀m,n ∈ z, mRn ⇔“m cùng tính chẳn lẻ với n” ⇒ “n cùngtính chẳn lẻ với m” ⇒ nRm. Vậy R đối xứng.∀m,n,k∈zmRn ⇔“m cùng tính chẳn lẻ với n” ⇒ m-n=2r [k∈z] 4. Quan hệ tương đương [tt]nRk ⇔“n cùng tính chẳn lẻ với k” ⇒ n-k=2t [t∈z]⇒ m-k = [m-n]+[n-k]=2[r+t] ⇒ “m và k vùng tính chẵn lẻ”⇒ mRk. Có tính bắt cầu .Kết luận: R phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên R là quan hệtương đương trên Z.Ví dụ 4.2: Quan hệ R trên tập S gồm các chuỗi kí tự đượcđịnh nghĩa: ∀s1,s2∈S, s1Rs2 ⇔ len[s1]=len[s2].là quan hệ tương đương. 4. Quan hệ tương đươngVí dụ 4.3: A={Con người}, Quan hệ R trên A là “Quen biết”không phải là quan hệ tương đương. Vì không có tính bắt cầu.Ví dụ 4.4: Quan hệ “song song” trên tập L các đường thẳngtrong mặt phẳng là quan hệ tương đương.C/m:∀L∈L, L//L [hiển nhiên]. Vậy R phản xạ∀L1,L2∈L, L1RL2⇔L1//L2 ⇒L2//L1 hay L2RL1. Vậy R đối xứng∀L1,L2,L3∈L, [L1//L2] ∧[L2//L3]⇒L1//L3. Vậy R bắt cầu.Kết luận: “Song song” là quan hệ tương đương trên L
Trong toán học, quan hệ là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp, ví dụ như các quan hệ bằng, nhỏ hơn, lớn hơn, đồng dư giữa các số, hay các quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa các hình tam giác. Tất cả các ví dụ này đều là các quan hệ hai ngôi.
Quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
={ [a,1], [a, 2], [b, 2], [c, 2]}.
Để biểu diễn quan hệ [trên các tập hữu hạn], nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị
Cho tập A có m phần tử
Ma trận logic của quan hệ hai ngôi
và tập B có n phần tử
B = {b1,b2,...,bn}Ma trận logic của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ⊂ {\displaystyle \subset } A x B là ma trận cấp m × {\displaystyle \times } n với các phần tử r i,j xác định như sau:
r i , j = { 1 khi a i R b j 0 khi a i R ¯ b j {\displaystyle r_{i,j}={\begin{cases}1&{\mbox{khi }}a_{i}{\mathcal {R}}b_{j}\\0&{\mbox{khi }}a_{i}{\overline {\mathcal {R}}}b_{j}\end{cases}}}Ví dụ ma trận biểu diễn quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ở trên là
M R = [ 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle M_{\mathcal {R}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&0\ \end{pmatrix}}}Quan hệ n ngôi
Một quan hệ n {\displaystyle n} ngôi giữa các tập hợp A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}} là một tập hợp con của tích Descartes A 1 × ⋯ × A n {\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}} .
Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là một quan hệ trên tập A:
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất phản xạ nếu ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} : a R a {\displaystyle a{\mathcal {R}}a} [2]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất đối xứng nếu ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \forall a,b\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} thì b R a {\displaystyle b{\mathcal {R}}a} [2]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất phản đối xứng nếu ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \forall a,b\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b R a {\displaystyle b{\mathcal {R}}a} thì a = b {\displaystyle a=b} [3]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất bắc cầu nếu ∀ a , b , c ∈ A {\displaystyle \forall a,b,c\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b R c {\displaystyle b{\mathcal {R}}c} thì a R c {\displaystyle a{\mathcal {R}}c} [2]
Quan hệ tương đương
Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.[2]
Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là quan hệ tương đương trên tập A và phần tử a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Tập con của A gồm các phần tử b có quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} với a được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu là [ a ] R {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}} [4].
Cho a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} và quan hệ tương đương R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Khi đó
- [ a ] R ≠ ∅ {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset } , [ b ] R ≠ ∅ {\displaystyle {[b]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset }
- hoặc [ a ] R ∩ [ b ] R = ∅ {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\cap {[b]}_{\mathcal {R}}=\emptyset } ,hoặc [ a ] R = [ b ] R {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}={[b]}_{\mathcal {R}}} .
Từ đó tập các lớp tương đương của R {\displaystyle {\mathcal {R}}} tạo thành một phân hoạch [hay một sự chia lớp] của tập A.[5]
Một ví dụ minh hoạ cho quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư theo môđun m trên tập hợp các số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } [m là số tự nhiên lớn hơn 1], mỗi lớp tương đương là tập các số nguyên có cùng số dư theo môđun m. Trong số học nó còn được gọi là các lớp thặng dư theo môdun m.
Quan hệ thứ tự
Bài chi tiết: Tập hợp sắp thứ tự một phần
- Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự trên A nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.[3]
- Sau đây ta dùng ký hiệu ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } để chỉ một quan hệ thứ tự trong trường hợp tổng quát.
- Quan hệ thứ tự ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập A nếu với hai phần tử bất kỳ a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} một trong hai quan hệ a ⊑ b {\displaystyle a\sqsubseteq b} hoặc b ⊑ a {\displaystyle b\sqsubseteq a} sẽ xảy ra. Trong trường hợp ngược lại nó được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Khi đó, tương ứng ta nói tập A được sắp thứ tự toàn phần/bộ phận. Khi không muốn nói vào chi tiết ta đơn giản gọi chúng là tập được sắp. Các quan hệ "≤" và "≥" trên tập số thực là quan hệ thứ tự toàn phần. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên, quan hệ bao hàm trên các tập hợp là các quan hệ thứ tự bộ phận.
Các phần tử đặc biệt trong tập được sắp
Xem thêm: Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu
Xem thêm: Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất
Xem thêm: Infimum và supremum
Xem thêm: Cận trên đúng
- Trong tập A được sắp theo quan hệ ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } , một phần tử m được gọi là nhỏ nhất nếu m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} với mọi a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Ví dụ như phần tử nhỏ nhất của tập các số tự nhiên dương là 1, phần tử nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm trên các tập hợp là tập rỗng, theo quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên phần tử nhỏ nhất là số 1.
- Cho S là tập con của tập được sắp A theo quan hệ m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} . Phần tử m [nếu có] được gọi là infimum của S, ký hiệu là inf[S] hay ^S, nếu m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} với mọi a ∈ S {\displaystyle a\in S} và nếu ∀ a ∈ S : n ⊑ a {\displaystyle \forall a\in S:n\sqsubseteq a} thì n ⊑ m {\displaystyle n\sqsubseteq m} .
- Nếu S= {a, b} ⊂ A {\displaystyle \subset A} thì inf[{x,y}] được ký hiệu là x^y. Trong quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên, x^y chính là ƯCNN[x,y], còn theo quan hệ bao hàm giữa các tập hợp, A^B chính là tập A ∩ B {\displaystyle A\cap B} .
- Khái niệm tương tự theo chiều ngược lại là khái niệm supremum, ký hiệu là sub[S]
Cho quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập A vào tập B và quan hệ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} từ B vào C. Quan hệ tích [ R S ] {\displaystyle [{\mathcal {RS}}]} là quan hệ từ A vào C, xác định bởi a [ R S ] c {\displaystyle a[{\mathcal {RS}}]c} khi và chỉ khi tồn tại b ∈ B {\displaystyle b\in B} sao cho a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b S c {\displaystyle b{\mathcal {S}}c}
Tính chất của quan hệ bắc cầu
Bài chi tiết: Quan hệ bắc cầu
- Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là quan hệ có tính chất bắc cầu khi và chỉ khi
- Quan hệ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} nhỏ nhất có tính chất bắc cầu chứa quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là bao đóng bắc cầu [một số người gọi là bao đóng truyền ứng] của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ký hiệu là [ R ] {\displaystyle [{\mathcal {R}}]} .
- Nếu tập A hữu hạn gồm n phần tử thì
Ta có thể biểu diễn quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A ∩ B {\displaystyle \cap B} = ∅ {\displaystyle \emptyset } thì đồ thị biểu diễn R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là đồ thị hai phía.
Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và 5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.
Biểu diễn đồ thị của quan hệ |
|
Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} và biểu diễn ánh xạ, có thể nhận ra rằng ánh xạ [hay hàm] là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hàm.
Ánh xạ f : A → {\displaystyle \to } B là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau: Mỗi phần tử a ∈ {\displaystyle \in } A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b ∈ {\displaystyle \in } B.Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai [hoặc nhiều hơn] phần tử của A cùng có quan hệ f với một phần tử b ∈ B {\displaystyle b\in B}
Trong phạm trù các quan hệ Rel, một quan hệ cũng là một cấu xạ giữa các tập hợp.
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 1, tr.23
- ^ a b c d Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 2, tr. 24
- ^ a b Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 6, tr. 26
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 3, tr. 25
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 4 và Định lí 1, tr. 25
- Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương [tái bản lần thứ tám], Nhà xuất bản giáo dục
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Quan_hệ_[toán_học]&oldid=66673519”