Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh chúng ta thường gặp các bài toán này.
Chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh bước đầu được tiếp cận với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên phần lớn học sinh lớp 10, nhất là đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây vẫn là phần kiến thức khó và học sinh dễ mắc phải những sai lầm. Để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp thu kiến thức và kỹ năng giải toán bất phương trình. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã kết hợp giữa việc hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bất phương trình cơ bản với việc chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp, đồng thời chỉ ra nguyên nhân của những sai lầm đó và những biện pháp khắc phục, sửa chữa kịp thời. Từ thực tế đó, tôi thấy rằng việc làm của mình đã có tác dụng rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán trong trường THPT Triệu Sơn 2. Chính vì thế tôi lựa chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục một số sai lầm khi giải toán bất phương trình ”.
Bạn đang xem tài liệu "SKKN Giúp học sinh lớp 10 khắc phục một số sai lầm khi giải toán bất phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 10 KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện : Thi Văn Chung Chức vụ : Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang 1. MỞ ĐẦU 2 1.1. Lí do chọn đề tài 2 1.2. Mục đích nghiên cứu 2 1.3. Đối tượng nghiên cứu 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu 2 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3 2.1. Cơ sở lí luận 3 2.1.1. Bất phương trình bậc nhất, bậc hai 3 2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất 3 2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai 3 2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu 3 2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp 3 2.2. Thực trạng vấn đề 5 2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình và biện pháp khắc phục 5 2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai 5 2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức 7 2.3.3. Sai lầm khi giải các bất phương trình chứa tham số 10 2.3.4. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức 12 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 15 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 3.1. Kết luận 16 3.2. Kiến nghị 16 Danh mục SKKN đã được ngành GD và Đào tạo xếp loại 17 Tài liệu tham khảo 18 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh chúng ta thường gặp các bài toán này. Chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh bước đầu được tiếp cận với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên phần lớn học sinh lớp 10, nhất là đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây vẫn là phần kiến thức khó và học sinh dễ mắc phải những sai lầm. Để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp thu kiến thức và kỹ năng giải toán bất phương trình. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã kết hợp giữa việc hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bất phương trình cơ bản với việc chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp, đồng thời chỉ ra nguyên nhân của những sai lầm đó và những biện pháp khắc phục, sửa chữa kịp thời. Từ thực tế đó, tôi thấy rằng việc làm của mình đã có tác dụng rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán trong trường THPT Triệu Sơn 2. Chính vì thế tôi lựa chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục một số sai lầm khi giải toán bất phương trình ”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Tôi thực hiện đề tài này nhằm hướng tới một số mục đích cơ bản sau: + Khảo sát, đánh giá được thực trạng việc học toán của học sinh khối lớp 10 ở trường THPT Triệu Sơn 2 trong năm học 2017-2018 và năm học 2018-2019. + Tìm hiểu khó khăn của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình, phân tích các sai lầm phổ biến của học sinh. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông. + Truyền cảm hứng học môn Toán cho học sinh, giúp các em học sinh tạo sự tự tin, yêu môn học, tích cực tự tìm tòi, học hỏi để nâng cao trình độ nhằm đạt kết quả cao trong kì thi HSG văn hóa cấp tỉnh và thi THPT quốc gia ở lớp 11, 12. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Đề tài sẽ nghiên cứu những sai lầm thường gặp và một số giải pháp khắc phục sai lầm của học sinh lớp 10 khi học chương bất phương trình đại số. 1. 4. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Các tài liệu tập huấn [một số phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực; phương pháp, kĩ thuật tổ chức hoạt động học và hướng dẫn học sinh tự học; đổi mới tổ chức hoạt động giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh]; Trường học kết nối; Nguồn tài liệu mạng Internet; tài liệu về bất phương trình đại số lớp 10... + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin: Thu thập thông tin từ thực trạng học toán của học sinh lớp 10 tại Trường trung học phổ thông Triệu Sơn 2. + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tổng hợp, xử lí số liệu về hiệu quả của việc áp dụng đề tài trước và sau khi thực hiện nghiên cứu. 1.5. Những điểm mới của đề tài Có thể nói, chủ đề SKKN về khắc phục những sai lầm khi giải toán bất phương trình đại số lớp 10 là một chủ đề cũ, đã có rất nhiều SKKN làm, tuy nhiên ở SKKN này tôi tập trung sâu vào vấn đề mà các SKKN khác ít làm đó là: đưa ra các ví dụ và giải pháp hiệu quả để “khắc phục được sai lầm cho học sinh khi giải toán bất phương trình” đây cũng là nội dung quan trọng trong chương trình SGK lớp 10. 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1. Cơ sở lí luận 2.1.1. Nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai. 2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất:. Nghiệm của nhị thức là . Định lí: Nhị thức bậc nhất cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm. 2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai Định lí: Cho tam thức bậc hai [ ]. Nếu thì tam thức f[x] cùng dấu với a với mọi Nếu thì tam thức f[x] cùng dấu với a với mọi Nếu thì tam thức f[x] có hai nghiệm và Tam thức f[x] cùng dấu với a với . Tam thức f[x] trái dấu với a với . 2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu Cho tam thức f[x]= ax2 + bx + c [a0] f[x]>0, 2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp 2.1.2.1. Bất phương trình bậc hai. Xét bất phương trình bậc hai:. Dựa vào định lí về dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau: + Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là + Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là + Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Ø + Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là trong đó là hai nghiệm của phương trình + Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là , trong đó là hai nghiệm của phương trình . Với cách suy luận tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các bất phương trình dạng khác như: . 2.1.2.2. Bất phương trình tích Phương pháp Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng P[x]0, P[x], P[x]. Trong đó P[x] là tích của một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Bước 2: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số biểu thức P[x] rồi suy ra miền nghiệm của bất phương trình. 2.1.2.3 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Phương pháp Bước 1: Đặt điều kiện xác định. Bước 2: Đưa bất phương trình đã cho về dạng trong đó tử thức và mẫu thức là tích một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Bước 3: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số vế trái, từ đó chọn miền nghiệm thích hợp với điều kiện. * Chú ý . 2.1.2.4. Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: hoặc Dạng 4: Dạng 5: hoặc 2.2. Thực trạng vấn đề Phần bất phương trình là một phần mới đối với các em học sinh lớp 10. Đa số các em đang quen giải theo kiểu phương trình nên khi chuyển thành dấu bất phương trình thì các em gặp không ít những bỡ ngỡ. Nhiều em kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay chưa thạo các thuật toán. Một mặt học sinh trường THPT Triệu Sơn 2 mà tôi đang giảng dạy thuộc vùng nông thôn, đời sống nhân dân đang còn khó khăn, chất lượng học tập của một bộ phận học sinh còn chưa cao. Đối với học sinh lớp 10 nhất là các em có học lực trung bình và yếu, khi giải toán bất phương trình thường gặp những khó khăn, sai lầm như: Không nắm vững định lý dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Không nắm vững phương pháp giải các bất phương trình cơ bản. Lúng túng trong giải quyết các bài toán bất phương trình chứa tham số, trình bày bài giải còn thiếu logic, chặt chẽ, khoa học 2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán bất phương trình và biện pháp khắc phục 2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai Học sinh không biết vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc hai mà thường nhầm lẫn giữa cách giải bất phương trình bậc hai với cách giải phương trình bậc hai hoặc bất phương trình bậc nhất. Đặc biệt là với những bất phương trình bậc hai khuyết hệ số. Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số sau Sai lầm thường gặp Điều kiện xác định của hàm số là: Hướng khắc phục Học sinh cần nắm vững cách giải bất phương trình bậc hai và chú ý lấy nghiệm của bất phương trình dựa vào dấu của tam thức bậc hai [khi tam thức có hai nghiệm phân biệt thì dấu tam thức được xác định theo qui tắc ngoài cùng trong trái] Lời giải đúng Điều kiện xác định của hàm số là : + -3 - 3 + Dấu của vế trái trên trục số: Vậy điều kiện xác định . Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Sai lầm thường gặp Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là: ac < 0 Hướng khắc phục Trong giải bất phương trình bậc hai khi tam thức có , học sinh thường nhầm lẫn trong cách dùng kí hiệu và . Do đó cần chỉ rõ cho học sinh thấy tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng hay hai khoảng để lựa chọn kí hiệu phù hợp. Trong bài toán trên khi xét dấu của tam thức miền nghiệm là hợp của 2 khoảng do vậy ta phải dùng kí hiệu . Lời giải đúng Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là: ac < 0 + -8 - 2 + Vậy với m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Ví dụ 3: Giải bất phương trình Sai lầm thường gặp Đặt có , suy ra bất phương trình vô nghiệm. Khi giải bất phương trình bậc hai trong trường hợp học sinh không dựa vào định lí để kết luận nghiệm mà thường kết luận ngay bất phương trình vô nghiệm. Hướng khắc phục Dấu của tam thức phụ thuộc vào dấu của hệ số a và dấu của . Khi tam thức có thì tam thức luôn cùng dấu với hệ số a với mọi . Lời giải đúng Đặt Ta có , suy ra với mọi Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức 2.3.2.1. Dạng ? Hướng khắc phục Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép [hoặc nghiệm bội chẵn] thì dấu của biểu thức không đổi khi đi qua nghiệm kép đó. Đặc biệt: Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau Sai lầm thường gặp Đặt . + 0 - + Ta có : Xét dấu trên trục số Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: . Hướng khắc phục Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép [hoặc nghiệm bội chẵn] thì dấu của biểu thức không đổi khi đi qua nghiệm kép đó. Đặc biệt: . Lời giải đúng Đặt - 0 - + Ta có : Xét dấu trên trục số Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: . 2.3.2.2. Dạng Sai lầm của học sinh: Đối với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, khi giải bất phương trình học sinh thường hay khử mẫu thức mà không để ý đến dấu của mẫu thức và phép biến đổi đó có tương đương hay không. Hướng khắc phục: Học sinh cần chú ý đến xét dấu mẫu số và biến đổi về dạng: sau đó lập bảng xét dấu vế trái hoặc dùng phương pháp trục số Ví dụ 5. Giải bất phương trình Sai lầm của học sinh thường gặp: Vậy tập nghiệm của bất phương trình: Nguyên nhân sai lầm: thì