- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Bài 1 [1,5 điểm]
1.Tính: \[\dfrac{1}{5}{x^2}y\left[ {15x{y^2} - 5y + 3xy} \right].\]
2.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a]\[5{x^3} - 5x\]
b]\[3{x^2} + 5y - 3xy - 5x\]
Bài 2 [2,0 điểm]Cho \[P = \left[ {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 4}} + \dfrac{{x - 2}}{{2x{\rm{ + }}4}} + \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}} \right]:\dfrac{4}{{x - 2}}\]
a]Tìm điều kiện của \[x\] để P xác định.
b]Rút gọn biểu thức P.
c]Tính giá trị của biểu thức P khi \[x = - 1\dfrac{1}{3}\]
Bài 3[2,0 điểm]Cho hai đa thức \[A = 2{x^3} + 5{x^2} - 2x + a\] và \[B = 2{x^2} - x + 1\].
a]Tính giá trị đa thức \[B\] tại \[x = - 1\]
b]Tìm \[a\] để đa thức \[A\] chia hết cho đa thức \[B\].
c]Tìm \[x\]để giá trị đa thức \[B = 1\].
Bài 4 [3,5 điểm]Cho \[\Delta ABC\]có \[\angle A = {90^0}\] và \[AH\] là đường cao. Gọi\[D\] là điểm đối xứng với \[H\] qua \[AB,\,E\] là điểm đối xứng với \[H\] qua \[AC\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[AB\] và \[DH,\,K\] là giao điểm của \[AC\] và \[HE\].
a]Tứ giác \[AIHK\] là hình gì? Vì sao?
b]Chứng minh ba điểm \[D,\,A,\,E\] thẳng hàng.
c]Chứng minh: \[CB = B{\rm{D}} + CE\]
d]Biết diện tích tứ giác \[AIHK\] là \[a\][đvdt]. Tính diện tích \[\Delta DHE\] theo \[a\].
Bài 5 [1,0 điểm]
a]Tìm các số\[x,\,y\] thỏa mãn đẳng thức: \[3{x^2} + 3{y^2} + 4xy + 2x - 2y + 2 = 0\]
b]Với \[a,\,b,\,c,\,d\] dương, chứng minh: \[F = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + d}} + \dfrac{c}{{d + a}} + \dfrac{d}{{a + b}} \ge 2\]
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}1.\;\;\dfrac{1}{5}{x^2}y\left[ {15x{y^2} - 5y + 3xy} \right]\\ = \dfrac{1}{5}{x^2}y.15x{y^2} - \,\,\dfrac{1}{5}{x^2}y.5y + \dfrac{1}{5}{x^2}y.3xy\\\;\; = {x^3}{y^3} - {x^2}{y^2} + \dfrac{3}{5}{x^3}{y^2}.\end{array}\]\[\begin{array}{l}2.\;a]\,\,5{x^3} - 5x = 5x\left[ {{x^2} - 1} \right] = 5x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]\\\;\;b]\,\,3{x^2} + 5y - 3xy - 5x = \left[ {3{x^2} - 3xy} \right] - \left[ {5x - 5y} \right]\\\;\;\; = 3x\left[ {x - y} \right] - 5\left[ {x - y} \right] = \left[ {3x - 5} \right]\left[ {x - y} \right].\\\end{array}\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}a]\;\;P = \left[ {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 4}} + \dfrac{{x - 2}}{{2x{\rm{ + }}4}} + \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}} \right]:\dfrac{4}{{x - 2}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {\dfrac{{x + 2}}{{2\left[ {x - 2} \right]}} + \dfrac{{x - 2}}{{2\left[ {x + 2} \right]}} - \dfrac{8}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}} \right]:\dfrac{4}{{x - 2}}.\end{array}\]
\[P\]xác định khi và chỉ khi\[\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ne 0\\2x + 4 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right] \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 2\]
\[\begin{array}{l}b]\;P = \left[ {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 4}} + \dfrac{{x - 2}}{{2x{\rm{ + }}4}} + \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}} \right]:\dfrac{4}{{x - 2}} \\\;\;\;\;= \dfrac{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2} + {{\left[ {x - 2} \right]}^2} - 16}}{{2\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}.\dfrac{{x - 2}}{4}\\\;\;\;\; = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + {x^2} - 4x + 4 - 16}}{{8\left[ {x + 2} \right]}} = \dfrac{{2{x^2} - 8}}{{8\left[ {x + 2} \right]}}\\\;\;\;\; = \dfrac{{2\left[ {{x^2} - 4} \right]}}{{8\left[ {x + 2} \right]}}\\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}}{{4\left[ {x + 2} \right]}} = \dfrac{{x - 2}}{4}.\end{array}\]
c] Thay \[x = - 1\dfrac{1}{3} = - \dfrac{4}{3}\] vào biểu thức \[P\] ta được: \[\dfrac{{\dfrac{{ - 4}}{3} - 2}}{4} = \dfrac{{ - 4 - 6}}{{3.4}} = \dfrac{{ - 10}}{{12}} = - \dfrac{5}{6}.\]
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Thay \[x = - 1\]vào \[B = 2{x^2} - x + 1\] ta được: \[B = 2{x^2} - x + 1 = 2.{\left[ { - 1} \right]^2} - \left[ { - 1} \right] + 1 = 4\]
a] Ta có:
Để \[A\, \vdots \,\left[ {2{x^2} - x + 1} \right] \Leftrightarrow a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = 3.\]
b] Để \[B = 1 \Leftrightarrow 2\,{x^2} - x + 1 = 1\]
\[\Leftrightarrow 2\,{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {2\,x - 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
a]Vì \[D\] và \[H\] đối xứng với nhau qua \[AB\left[ {gt} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DI = IH\\DH \bot AB = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\] [tính chất đối xứng trục]
\[ \Rightarrow \angle HIA = {90^0}\]
Vì \[H\] và \[E\] đối xứng với nhau qua \[AC\left[ {gt} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK = KE\\HE \bot AC = \left\{ K \right\}\end{array} \right.\][tính chất đối xứng trục]
\[ \Rightarrow \angle HKA = {90^0}\]
Xét tứ giác \[AIHK\] có: \[\angle AIH = \angle IAK = \angle AKH = {90^0} \Rightarrow AIHK\] là hình chữ nhật [dhnb]
b]Vì \[D\] và \[H\] đối xứng với nhau qua \[AB\left[ {gt} \right] \Rightarrow AB\] là đường trung trực của \[DH\] [tính chất]
\[ \Rightarrow DA = AH\] [tính chất]
\[ \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}H\] cân tại \[A\].
Mà \[AI\] là đường cao nên cũng là tia phân giác của \[\angle DAH\] [tính chất tam giác cân]
\[ \Rightarrow \angle DAI = \angle IAH\] [tính chất tia phân giác] [1]
Vì \[E\] và \[H\] đối xứng với nhau qua \[AC\left[ {gt} \right] \Rightarrow AC\] là đường trung trực của \[EH\] [tính chất]
\[ \Rightarrow HA = AE\] [tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng]
\[ \Rightarrow \Delta AEH\] cân tại \[A\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
Mà \[AK\] là đường cao nên cũng là tia phân giác của \[\angle EAH\] [tính chất tam giác cân]
\[ \Rightarrow \angle HAK = \angle KAE\] [tính chất tia phân giác] [2]
Lại có: \[\angle IAH + \angle HAK = {90^0}\left[ {gt} \right] \Rightarrow \angle DAI + \angle K{\rm{AE}} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \angle DAI + \angle IAH + \angle HAK + \angle K{\rm{AE}} = {180^0} \Rightarrow D,\,A,\,E\]thẳng hàng.
c]Vì \[AB\] là đường trung trực của \[DH\left[ {cmt} \right] \Rightarrow DB = BH\] [tính chất]
Vì \[AC\] là đường trung trực của \[EH\left[ {cmt} \right] \Rightarrow HC = CE\] [tính chất]
Mà \[BC = BH + HC \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + CE\]. [đpcm]
d]Do \[\Delta A{\rm{D}}H\] là tam giác cân tại \[A\left[ {cmt} \right]\] mà \[AI\] là đường cao nên\[ \Rightarrow {S_{\Delta DAI}} = {S_{\Delta HAI}}\]
Lại có, \[\Delta AHE\] cân tại \[A\left[ {cmt} \right]\] mà \[AK\] là đường cao nên\[ \Rightarrow {S_{\Delta AHK}} = {S_{\Delta AKE}}\]
Do đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{S_{AIHK}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}}\\{S_{DEH}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}} + {S_{DAI}} + {S_{AKE}} = 2\left[ {{S_{AIH}} + {S_{AHK}}} \right] = 2{S_{AIHK}} = 2a\end{array} \right.\]
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}a]\,\,3{x^2} + 3{y^2} + 4xy + 2x - 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] + \left[ {{y^2} - 2y + 1} \right] + 2\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + 2{\left[ {x + y} \right]^2} = 0\end{array}\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x + 1} \right]^2} \ge 0\,\forall \,x\\{\left[ {y - 1} \right]^2} \ge 0\,\forall \,y\\{\left[ {x + y} \right]^2} \ge 0\,\forall \,x,\,y\end{array} \right. \Rightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {x + y} \right]^2} \ge 0\,\forall \,x,\,y\]
Do đó đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\]
Vậy \[\left[ {x;\;y} \right] = \left[ {1;\;1} \right].\]
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}F = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + d}} + \dfrac{c}{{d + a}} + \dfrac{d}{{a + b}}\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{c}{{d + a}}} \right] + \left[ {\dfrac{b}{{c + d}} + \dfrac{d}{{a + b}}} \right]\\\;\;\; = \dfrac{{a\left[ {d + a} \right] + c\left[ {b + c} \right]}}{{\left[ {b + c} \right]\left[ {d + a} \right]}} + \dfrac{{b\left[ {a + b} \right] + d\left[ {c + d} \right]}}{{\left[ {c + d} \right]\left[ {a + b} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{{a^2} + {c^2} + ad + bc}}{{\left[ {b + c} \right]\left[ {d + a} \right]}} + \dfrac{{{b^2} + {d^2} + ab + cd}}{{\left[ {c + d} \right]\left[ {a + b} \right]}}.\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \[x\] và \[y\] dương ta có:\[{\left[ {x + y} \right]^2} \ge 4xy.\]
Áp dụng bất đẳng thức trên cho hai số \[\left[ {b + c} \right]\] và \[\left[ {d + a} \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;{\left[ {\left[ {b + c} \right] + \left[ {a + d} \right]} \right]^2} \ge 4\left[ {b + c} \right]\left[ {a + d} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ {b + a} \right]\left[ {a + d} \right] \le \dfrac{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}{4}.\end{array}\]
Tương tự ta có: \[\left[ {c + d} \right]\left[ {a + b} \right] \le \dfrac{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}{4}.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow F \ge \dfrac{{{a^2} + {c^2} + ad + bc}}{{\dfrac{1}{4}\left[ {b + c + d + a} \right]}} + \dfrac{{{b^2} + {d^2} + ab + cd}}{{\dfrac{1}{4}{{\left[ {c + d + a + b} \right]}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{4\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + bc + cd + ad} \right]}}{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{2\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2bd + 2ac} \right] + 2\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 2bd - 2ca} \right]}}{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{2{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2} + 2\left[ {{{\left[ {a - c} \right]}^2} + {{\left[ {b - d} \right]}^2}} \right]}}{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = 2 + \dfrac{{2\left[ {{{\left[ {a - c} \right]}^2} + {{\left[ {b - d} \right]}^2}} \right]}}{{{{\left[ {a + b + c + d} \right]}^2}}}.\end{array}\]
Ta có: \[{\left[ {a - c} \right]^2} + {\left[ {b - d} \right]^2} \ge 0\]
\[ \Rightarrow F \ge 2.\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c = 0\\b - d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right..\]
Vậy \[F \ge 2\;\;\left[ {dpcm} \right].\]
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com