- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:
LG a
Chứng minh
\[\sqrt {5x + 2} + \sqrt {5y + 2} + \sqrt {5z + 2} \le 6\sqrt 3 ,\]
\[\forall x,y,z \ge - {2 \over 5},x + y + z = 6.\]
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ :\[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right]\] và \[\overrightarrow v = \left[ {\sqrt {5x + 2} ;\sqrt {5y + 2} ;\sqrt {5z + 2} } \right].\]
Ta có \[\eqalign{ & \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {5[x + y + z] + 6} = 6, \cr & \overrightarrow u .\overrightarrow v = \sqrt {5x + 2} + \sqrt {5y + 2} + \sqrt {5z + 2} . \cr} \]
Áp dụng bất đẳng thức \[\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\] suy ra đpcm.
LG b
Chứng minh \[\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 - {{\sin }^2}x} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right| \le 3,\forall x.\]
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ :\[\overrightarrow u = \left[ {\sin x;1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right]\] và \[\overrightarrow v = \left[ {1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} ;\sin x} \right]\]
Từ \[\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\] suy ra đpcm.
LG c
Tìm giá trị lớn nhất của tham số
\[f[x] = \sqrt {x + m} + \sqrt {x + n} + \sqrt {m + n} \]
Với \[x,m,n \ge 0,x + m + n = 1\]
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ : \[\overrightarrow u = \left[ {\sqrt {x + m} ;\sqrt {x + n} ;\sqrt {m + n} } \right]\] và \[\overrightarrow v = [1;1;1].\]
Ta có \[\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 2 \], \[\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 3 \] suy ra \[f\left[ x \right] = \overrightarrow u .\overrightarrow v \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 6 \].
Dấu bằng xảy ra khi \[\overrightarrow u \], \[\overrightarrow v \] cùng hướng, nghĩa là
\[{{\sqrt {x + m} } \over 1} = {{\sqrt {x + n} } \over 1} = {{\sqrt {m + n} } \over 1} > 0 \Leftrightarrow x = m = n > 0.\]
Kết hợp với \[x + m + n = 1\] suy ra \[x = m = n = {1 \over 3}\]
Vậy \[f\left[ x \right]\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[\sqrt 6 \] khi \[x = m = n = {1 \over 3}\]
LG d
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[A = \sqrt {{{[x + 1]}^2} + {y^2} + 4} + \sqrt {{x^2} + {{[y + 1]}^2} + 1} ,\]
\[\forall x,y.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\overrightarrow u = \left[ {x + 1;y;2} \right],\] \[\overrightarrow v = \left[ { - x; - y - 1;1} \right],\] ta có \[\overrightarrow u + \overrightarrow v = {\rm{ }}\left[ {1; - 1{\rm{ }};3} \right].\]
Áp dụng bất đẳng thức \[\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|,\] ta suy ra
\[A = \sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + {y^2} + 4} + \sqrt {{x^2} + {{\left[ {y + 1} \right]}^2} + 1} \]
\[\ge \sqrt {11} .\]
Dấu bằng xảy ra khi \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] cùng hướng, nghĩa là
\[{{x + 1} \over { - x}} = {y \over { - y - 1}} = {2 \over 1} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {1 \over 3} \hfill \cr y = - {2 \over 3}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\sqrt {11} \] khi \[x = - {1 \over 3},y = - {2 \over 3}.\]
LG e
Chứng minh:
\[\sqrt {{{[x - 1]}^2} + {{[y - 1]}^2} + {{[z + 1]}^2}} \]
\[+ \sqrt {{{[x + 1]}^2} + {{[y - 1]}^2} + {{[z - 1]}^2}} \ge 2\sqrt 2,\forall x,y,z\]
Dấu = xảy ra khi nào?
Lời giải chi tiết:
Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm \[A\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ 1}};{\rm{ }} - 1} \right],B\left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 1}}} \right]\] và \[M[x;y;z].\] Khi đó\[AB = {\rm{ }}2\sqrt 2 \] và
\[MA{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{[x - 1]}^2} + {\rm{ }}{{[y{\rm{ }} - 1]}^2} + {{[z + 1]}^2}} ,\]
\[MB{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{[x + 1]}^2} + {\rm{ }}{{[y{\rm{ }} - 1]}^2} + {{[z - 1]}^2}} .\]
Từ bất đẳng thức \[MA + MB \ge AB\], ta suy ra
\[\sqrt {{{[x - 1]}^2} + {\rm{ }}{{[y{\rm{ }} - 1]}^2} + {{[z + 1]}^2}} \]
\[+ \sqrt {{{[x + 1]}^2} + {\rm{ }}{{[y{\rm{ }} - 1]}^2} + {{[z - 1]}^2}} \ge 2\sqrt 2 .\]
Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay\[\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AB} \] ,\[0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\]
nghĩa là
\[\left\{ \matrix{ x - 1 = - 2t \hfill \cr y - 1 = 0 \hfill \cr z + 1 = 2t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - 2t \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\] \[0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\]