Đề bài - bài 2.9 trang 82 sbt hình học 10

Đề bài

Biết \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\tan \alpha = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt 2 \cos \alpha \)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{3\sqrt 2 \cos \alpha - \cos \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha + \cos \alpha }}\) \( = \dfrac{{\cos \alpha \left( {3\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\cos \alpha \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 - 4\sqrt 2 + 1}}{{2 - 1}} = 7 - 4\sqrt 2 \)

Vậy \(A = 7 - 4\sqrt 2 \).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)

Mà \(\tan \alpha = \sqrt 2 > 0\) nên \(0^0 < \alpha < 90^0\) hay \(\cos\alpha > 0\).

Do đó \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\(\Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha \)\(= \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\\
= \frac{{3.\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= 7 - 4\sqrt 2
\end{array}\)