Giải Bất Phương Trình Logarit, Bằng Cách Đưa Về Cùng Cơ Số Cực Hay
Phương trình logarit và bất phương trình logarit cũng là một trong những nội dung toán lớp 12 có trong đề thi THPT quốc gia hàng năm, vì vậy các em cần nắm vững.
Đang xem: Giải bất phương trình logarit
Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.
I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình Logarit cơ bản
+ Phương trình logax = b [0b với mọi b
2. Bất phương trình Logarit cơ bản
+Xét bất phương trình logax > b:
Nếu a>1 thì logax > b x > ab
Nếu 0ax > b 0 b
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Giải phương trình logarit, bấtPT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
logaf[x] = logag[x] f[x] = g[x]
logaf[x] = b f[x] = ab
+ Lưu ý: Đối với các PT, BPT logarit ta cần đặt điều kiện để các biểu thức logaf[x] có nghĩa, tức là f[x]0.
Xem thêm: Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Tính Lãi Lỗ Trong Kinh Doanh Nghiệp Tư Nhân
2. Giải phương trình, bấtPT Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
+ Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf[x] thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf[x].
Xem thêm: Hệ Phương Trình 2 Ẩn Lớp 10, Toán Lớp 10: Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Số
+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf[x] có nghĩa là f[x] > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét [có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không] khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.
3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá
+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản [phương pháp này gọi là mũ hóa]
+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau
II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT
* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a] log3[2x+1] = log35
b] log2[x+3] = log2[2×2-x-1]
c] log5[x-1] = 2
d] log2[x-5] + log2[x+2]=3
* Lời giải:
a] ĐK: 2x+1 > 0 x>[-1/2]
PT 2x+1 = 5 2x = 4 x = 2 [thoả ĐK]
b] ĐK: x+3>0, 2×2 x 1 > 0 ta được: x>1 hoặc [-3]2[x+3] = log2[2×2-x-1] x+3 =2×2 x 1 2×2 2x 4 = 0
x2 x 2 = 0 x = -1 [thoả] hoặc x = 2 [thoả]
c] ĐK: x 1 > 0 x > 1
Ta có: log5[x-1] = 2 x-1 = 52 x = 26 [thoả]
d] ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5
Ta có: log2[x-5] + log2[x+2]=3log2[x-5][x+2] = 3[x-5][x+2] = 23
x2 3x -18 = 0 x = -3 [loại] hoặc x = 6[thoả]
* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a]
b]
c]
d]
e] 1 + log2[x-1] = log[x-1]4
* Lời giải:
a] ĐK: x>0
Ta đặt t=log3x khi đó PT t2 + 2t 3 = 0 t =1 hoặc t = -3
Với t = 1 log3x = 1 x = 3
Với t = -3 log3x = -3 x = 3-3 = 1/27
b]4log9x + logx3 3 = 0 ĐK: 03x + 1/log3x -3 = 0
Ta đặt t = log3x khi đó PT 2t+ 1/t 3 = 0 2t2 3t + 1 = 0 t=1 hoặc t = 1/2
Với t = 1 log3x = 1 x = 3 [thoả]
Với t = 1/2 log3x = 1/2 x = 3 [thoả]
c] ĐK: log3x có nghĩa x > 0
Các mẫu của phân thức phải khác 0: [5+log3x]0 và [1 +log3x]0log3x -5 vàlog3x -1
Ta đặt t = log3x [t -1,t -5] khi đó:
[1+t] +2[5+t]=[1+t][5+t] 3t + 11 = t2 + 6t + 5t2+ 3t 6 = 0
[thoả ĐK]
thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1và x =3t2
d]
ĐK: x>0
PT
Đặt t=log2x Ta được PT:t2 + t 2 = 0 t = 1 hoặc t = -2
Với t = 1 x = 2
Với t = -2 x = 1/4
e]1 + log2[x-1] = log[x-1]4
ĐK: 02[x-1] ta có PT: 1+t = 2/t t2+ t 2 = 0 t = 1 hoặc t = -2
Với t = 1 x-1 = 2 x = 3
Với t = -2 x-1 = 1/4 x= 5/4
* Giải phương trình Logarit áp dụng phương pháp mũ hoá
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a] ln[x+3] = -1 +3
b]log2[5 2x] = 2 x
* Lời giải:
a] ĐK: x-3>0 x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:
[thoả]
b]log2[5 2x] = 2 x
ĐK: 5 2x > 0 2x x [t>0,tx2 5t + 4 = 0
t = 1 [thoả] hoặc t =4 [thoả]
Với t = 1 x = 0
Với t = 4 x = 2
Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau
a] log0,5[x+1] log2[2-x]
b] log2x 13logx + 36 > 0
Lời giải:
a] ĐK: x+1>0 và 2-x>0 -10,5[x+1] log2[2-x] -log2[x+1] log2[2-x] log2[2-x] + log2[x+1] 0