Bài 1 [2 điểm] Thực hiện từng bước phép tính :
a] \[\sqrt {\dfrac{9}{{16}}} - 0,\left[ 3 \right] - \left[ { - \dfrac{2}{9}} \right] + \dfrac{1}{{2019}} - \dfrac{3}{5} \]\[+ {\left[ {\dfrac{1}{6}} \right]^2} + \dfrac{{ - 1}}{{15}}\]
b] \[\dfrac{{ - {{22}^{33}}{{.33}^{55}}.{{\left[ { - 55} \right]}^{22}}}}{{{{\left[ { - 6} \right]}^{33}}.{{\left[ { - 15} \right]}^{22}}{{.11}^{111}}}}\]
Bài 2 [1,5 điểm]: Tìm \[x\] biết :
a] \[\left| {3 - 2x} \right| + \sqrt {\dfrac{9}{{25}}} = \sqrt {\dfrac{{16}}{{25}}} \]
b] \[\dfrac{{2x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{ - 50}}{{2x - 1}}\,\,\,\left[ {x \ne \dfrac{1}{2}} \right]\]
Bài 3 [2 điểm]: Có \[3\] gói tiền: gói thứ nhất gồm toàn tờ bạc \[20000\] đồng, gói thứ hai gồm toàn tờ bạc \[50000\] đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ bạc \[100000\] đồng. Biết số tiền ở ba gói bằng nhau và gói thứ nhất hơn gói thứ ba \[68\] tờ giấy bạc. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ giấy bạc và tổng số tiền ở cả ba gói là bao nhiêu ?
Bài 4 [1 điểm]:
a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = \dfrac{3}{2}x\].
b] Cho \[A\left[ {12;18} \right]\] và \[B\left[ {20;25} \right]\]. Hỏi đồ thị của hàm số trên đi qua điểm nào trong hai điểm đã cho? Giải thích?
Bài 5 [3,5 điểm]: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\left[ {AB < AC} \right].\] Tia \[BD\] là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\left[ {D \in AC} \right]\]. Trên cạnh \[BC,\] lấy điểm \[E\] sao cho \[BE = BA.\]
a] Chứng minh : \[\Delta ABD = \Delta EBD\] và \[DE \bot BC.\]
b] \[BA\] và \[ED\] cắt nhau tại \[F.\] Chứng minh : \[\Delta DAF = \Delta DEC\] và \[BF = BC.\]
c] Gọi \[H\] là giao điểm của \[BD\] và \[FC.\] Chứng minh : \[BH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[FC.\]
d] Gọi \[M\] là trung điểm của \[EC.\] Trên tia đối của tia \[MF\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MK = MF.\]
Chứng minh : ba điểm \[A,\,E,\,K\] thẳng hàng.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Bài 1 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về căn bậc hai.
Qui ước \[{a^0} = 1.\]
Và \[{\left[ {{a^m}} \right]^n} = {a^{m.n}};\,\dfrac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\]
Cách giải:
a] \[\sqrt {\dfrac{9}{{16}}} - 0,\left[ 3 \right] - \left[ { - \dfrac{2}{9}} \right] + \dfrac{1}{{2019}} \]\[- \dfrac{3}{5} + {\left[ {\dfrac{1}{6}} \right]^2} + \dfrac{{ - 1}}{{15}}\]
\[= \sqrt {\dfrac{9}{{16}}} - 3 \cdot 0,\left[ 1 \right] + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{{2019}} \]\[ - \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{{36}} - \dfrac{1}{{15}}\]
\[= \dfrac{3}{4} - 3 \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{{2019}} - \dfrac{3}{5} \]\[+ \dfrac{1}{{36}} - \dfrac{1}{{15}}\]
\[ = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{{36}} - \left[ {\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{{15}}} \right] \]\[+ \dfrac{1}{{2019}}\]
\[= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{36}} - \dfrac{{10}}{{15}} + \dfrac{1}{{2019}}\]
\[= \dfrac{{27 - 4 + 1}}{{36}} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{2019}}\]
\[= \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{2019}}\\ = \dfrac{1}{{2019}} \cdot\]
b] \[\dfrac{{ - {{22}^{33}}{{.33}^{55}}.{{\left[ { - 55} \right]}^{22}}}}{{{{\left[ { - 6} \right]}^{33}}.{{\left[ { - 15} \right]}^{22}}{{.11}^{111}}}}\]
\[ = \dfrac{{ - {{22}^{33}}{{.33}^{55}}{{.55}^{22}}}}{{ - {6^{33}}{{.15}^{22}}{{.11}^{111}}}}\]
\[\begin{array}{l} = \dfrac{{ - {{1.2}^{33}}{{.11}^{33}}{{.3}^{55}}{{.11}^{55}}{{.5}^{22}}{{.11}^{22}}}}{{ - {{1.2}^{33}}{{.3}^{33}}{{.3}^{22}}{{.5}^{22}}{{.11}^{111}}}}\\ = \dfrac{{{2^{33}}{{.11}^{33 + 55 + 22}}{{.3}^{55}}{{.5}^{22}}}}{{{2^{33}}{{.3}^{33 + 22}}{{.5}^{22}}{{.11}^{111}}}}\\ = \dfrac{{{2^{33}}{{.11}^{110}}{{.3}^{55}}{{.5}^{22}}}}{{{2^{33}}{{.3}^{55}}{{.5}^{22}}{{.11}^{111}}}}\\ = \dfrac{1}{{11}}\end{array}\]
Bài 2 [VD]:
Phương pháp:
Áp dụng các quy tắc chuyển vế đổi dấu và kiến thức về GTTĐ để tìm \[x\].
Cách giải:
a] \[\left| {3 - 2x} \right| + \sqrt {\dfrac{9}{{25}}} = \sqrt {\dfrac{{16}}{{25}}} \]
\[\begin{array}{l}\left| {3 - 2x} \right| + \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}\\\left| {3 - 2x} \right| = \dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{5}\\\left| {3 - 2x} \right| = \dfrac{1}{5}\end{array}\]
TH1 :
\[\begin{array}{l}3 - 2x = \dfrac{1}{5}\\2x = 3 - \dfrac{1}{5}\\2x = \dfrac{{14}}{5}\\x = \dfrac{{14}}{5}:2\\x = \dfrac{7}{5}\end{array}\]
TH2 :
\[\begin{array}{l}3 - 2x = - \dfrac{1}{5}\\2x = 3 + \dfrac{1}{5}\\2x = \dfrac{{16}}{5}\\x = \dfrac{{16}}{5}:2\\x = \dfrac{8}{5}\end{array}\]
Vậy \[x = \dfrac{7}{5}\] hoặc \[x = \dfrac{8}{5}\].
b] \[\dfrac{{2x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{ - 50}}{{2x - 1}}\,\,\,\left[ {x \ne \dfrac{1}{2}} \right]\]
\[\begin{array}{l}{\left[ {2x - 1} \right]^2} = - 2.\left[ { - 50} \right]\\{\left[ {2x - 1} \right]^2} = 100\end{array}\]
\[2x - 1 = 10\] hoặc \[2x - 1 = - 10\]
TH1:
\[\begin{array}{l}2x - 1 = 10\\2x = 10 + 1\\2x = 11\\x = \dfrac{{11}}{2}\end{array}\]
TH2:
\[\begin{array}{l}2x - 1 = - 10\\2x = - 10 + 1\\2x = - 9\\x = \dfrac{{ - 9}}{2}\end{array}\]
Vậy \[x = \dfrac{{11}}{2}\] hoặc \[x = - \dfrac{9}{2}\].
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
- Gọi số tờ tiền của mỗi loại là \[a,b,c.\]
- Dựa vào đề bài, viết các tỉ lệ thức liên quan, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm lời giải cho bài toán.
Cách giải:
Gọi số tờ tiền của mỗi loại giấy bạc \[20000\] đồng, \[50000\] đồng và \[100000\] đồng lần lượt là \[a,b,c\left[ {a,b,c \in {\mathbb{N}^*},a > 68} \right]\]
Số tiền ở ba gói lần lượt là : \[20\,000a\] đồng; \[50000b\] đồng và \[100000c\] đồng.
Do số tiền ở ba gói là bằng nhau nên ta có : \[20000a = 50000b = 100000c\]
Chia cả ba vế cho \[100000\] ta được tỉ lệ thức:
\[\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{1}\]
Mà gói thứ nhất hơn gói thứ ba \[68\] tờ giấy bạc hay \[a - c = 68\]
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\[\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{1} = \dfrac{{a - c}}{{5 - 1}} = \dfrac{{68}}{4} = 17\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{5} = 17 \Rightarrow a = 17.5 = 85\\\dfrac{b}{2} = 17 \Rightarrow b = 17.2 = 34\\\dfrac{c}{1} = 17 \Rightarrow c = 17.1 = 17\end{array} \right.\]
Vậy có \[85\] tờ \[20000\] đồng, \[34\] tờ \[50000\] đồng và \[17\] tờ \[100000\] đồng.
Khi đó mỗi gói có số tiền là :
\[20000 \times 85 = 1700000\] [đồng]
Tổng số tiền ở cả ba gói là :
\[1700000 \times 3 = 5100000\] [đồng]
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
a] Lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số :
- Cho \[x = 0\] tìm giá trị của \[y.\]
- Cho \[x = 1\] tìm giá trị tương ứng của \[y.\]
Nối hai điểm vừa tìm được, ta có đồ thị của hàm số.
b] Vận dụng kiến thức : Điểm \[A\left[ {{x_A},{y_A}} \right]\] thuộc đồ thị của hàm số \[y = ax\] khi \[{y_A} = a{x_A}.\]
Cách giải:
a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = \dfrac{3}{2}x\]
Khi \[x = 0\] thì \[y = \dfrac{3}{2} \cdot 0 = 0\]
Khi \[x = 1\] thì \[y = \dfrac{3}{2} \cdot 1 = \dfrac{3}{2}\]
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left[ {0;0} \right];\,B\left[ {1;\dfrac{3}{2}} \right]\], từ đó ta có đồ thị của hàm số \[y = \dfrac{3}{2}x\].
b] Cho \[A\left[ {12;18} \right]\] và \[B\left[ {20;25} \right]\]. Hỏi đồ thị của hàm số trên đi qua điểm nào trong hai điểm đã cho? Giải thích?
Ta có :
\[18 = \dfrac{3}{2} \cdot 12\] nên điểm \[A\left[ {12;18} \right]\] nằm trên đồ thị của hàm số \[y = \dfrac{3}{2}x\]
\[25 \ne \dfrac{3}{2} \cdot 20\] nên điểm \[B\left[ {20;25} \right]\] không nằm trên đồ thị của hàm số \[y = \dfrac{3}{2}x\].
Bài 5 [VD]:
Phương pháp:
- Nhớ lại kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông rồi chứng minh.
Chú ý : Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau.
- Đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
- Sử dụng tiên đề Ơclit chứng minh ba điểm thẳng hàng: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Cách giải:
a] Chứng minh : \[\Delta ABD = \Delta EBD\] và \[DE \bot BC.\]
Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta EBD\] có
Cạnh \[BD\] chung.
\[\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\] [\[BD\] là tia phân giác của góc \[B\]]
\[ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD\left[ {ch - gn} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DEB}\] [cặp góc tương ứng]
Mà \[\widehat {DAB} = 90^\circ \left[ {gt} \right]\] nên \[\widehat {DEB} = 90^\circ \] hay \[DE \bot BC\][đpcm]
b] \[BA\] và \[ED\] cắt nhau tại \[F.\] Chứng minh : \[\Delta DAF = \Delta DEC\] và \[BF = BC.\]
Từ câu a, \[\Delta ABD = \Delta EBD\]\[ \Rightarrow DA = DE\] [cạnh tương ứng]
Xét hai tam giác vuông \[\Delta DAF\] và \[\Delta DEC\] ta có :
\[DA = DE\] [chứng minh trên]
\[\widehat {FDA} = \widehat {CDE}\] [cặp góc đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta DAF = \Delta DEC\left[ {gn - cgv} \right]\]
\[ \Rightarrow AF = CE\] [cặp cạnh tương ứng]
Mà \[BA = BE\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow AF + AB = CE + BE\] hay \[BF = BC.\]
c] Gọi \[H\] là giao điểm của \[BD\] và \[FC.\] Chứng minh : \[BH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[FC.\]
Xét tam giác \[BHC\] và \[BHF\] có :
\[BH\] là cạnh chung
\[\widehat {CBH} = \widehat {FBH}\left[ {gt} \right]\]
\[BC = BF\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta BHC = \Delta BHF\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow CH = FH\] [cạnh tương ứng] [1]
\[\angle CHB = \angle FHB\] [góc tương ứng]
Mà \[\angle CHB + \angle FHB = {180^0}\] nên \[\angle CHB = \angle FHB = {90^0}\]\[ \Rightarrow BH \bot CF\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[CF\] [định nghĩa đường trung trực].
d] Gọi \[M\] là trung điểm của \[EC.\] Trên tia đối của tia \[MF\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MK = MF.\]
Chứng minh : ba điểm \[A,\,E,\,K\] thẳng hàng.
Xét \[\Delta MCF\] và \[\Delta MEK\] có:
\[\begin{array}{l}MC = ME\left[ {gt} \right]\\MK = MF\left[ {gt} \right]\end{array}\]
\[\widehat {CMF} = \widehat {EMK}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta MCF = \Delta MEK\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MFC}\] [góc tương ứng]
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \[EK//CF\] [1]
Nối \[E\] với \[A\] cắt \[BD\] tại \[N\].
Xét \[\Delta ABN\] và \[\Delta EBN\] có:
\[\begin{array}{l}BA = BE\left[ {gt} \right]\\\widehat {ABN} = \widehat {EBN}\left[ {gt} \right]\\BN\,chung\end{array}\]
\[ \Rightarrow \Delta ABN = \Delta EBN\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {ENB}\] [góc tương ứng]
Mà \[\widehat {ANB} + \widehat {ENB} = {180^0}\] nên \[\widehat {ANB} = \widehat {ENB} = {90^0}\]\[ \Rightarrow AE \bot BN\] hay \[AE \bot BH\]
Mà \[CF \bot BH\left[ {cmt} \right]\] nên \[AE//CF\] [từ vuông góc đến song song]
Ta có: \[AE//CF,EK//CF\] nên theo tiên đề Ơ clit, có một và chỉ một đường thẳng đi qua \[E\] và song song \[CF\].
Vậy ba điểm \[A,E,K\] thẳng hàng [đpcm].
HẾT