Bài 1 [2,0 điểm]:
a] Rút gọn biểu thức: \[A = \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{\sqrt {12} }}{2} + \sqrt 3 \].
b] Một chiếc thang dài \[3,5m\]. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc an toàn là \[75^\circ \] [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất].
Bài 2 [2,0 điểm]: Cho hai biểu thức
\[A = \dfrac{{x + 5\sqrt x }}{{x - 25}}\,\,;\\B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{x + 9\sqrt x }}{{x - 9}}\] với \[x \ge 0\] và \[x \ne 9\] và \[x \ne 25\].
a] Tìm \[x\] để biểu thức \[A\] nhận giá trị bằng \[0\].
b] Rút gọn biểu thức \[B\].
c] Đặt \[P = B:A\]. So sánh \[P\] với \[1\].
Bài 3 [2,0 điểm]:
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[\left[ d \right]:\,\,y = \left[ {m - 1} \right]x - m\] [với \[m\]là tham số].
a] Vẽ đường thẳng \[\left[ d \right]\] khi \[m = 3\];
b] Tìm \[m\] để \[\left[ d \right]\] đi qua điểm \[A\left[ { - 1; - 3} \right]\];
c] Tìm \[m\] để \[\left[ d \right]\] cùng với hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:\,\,y = x - \dfrac{2}{3}\] và \[\left[ {{d_2}} \right]:\,\,y = - x + 1\] đồng quy.
Bài 4 [3,5 điểm]: Cho điểm \[C\] thuộc đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB,\,\,\left[ {AC < BC} \right]\]. Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\]. Tiếp tuyến tại \[B\] của đường tròn \[\left[ O \right]\] cắt tia \[OH\] tại \[D\].
a] Chứng minh rằng: \[DH.DO = D{B^2}\];
b] Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right]\];
c] Đường thẳng \[AD\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại \[E\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[AE\]. Chứng minh bốn điểm \[D,B,M,C\] cùng thuộc một đường tròn.
d] Gọi \[I\] là trung điểm \[DH,BI\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại \[F.\] Chứng minh ba điểm \[A,H,F\] thẳng hàng.
Bài 5 [3 điểm]: Giải phương trình: \[\sqrt 2 \left[ {{x^2} + 8} \right] = 5\sqrt {{x^3} + 8} \].
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Bài 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Khử mẫu biểu thức lấy căn \[\dfrac{1}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{\sqrt A + B}}{{A - {B^2}}}\,\left[ {A \ge 0;\,A \ne {B^2}} \right]\] và sử dụng \[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|B\,\left[ {B \ge 0} \right]\]
b] Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Cách giải:
a] Rút gọn biểu thức: \[A = \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{\sqrt {12} }}{2} + \sqrt 3 \].
\[A = \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{\sqrt {12} }}{2} + \sqrt 3 \]\[ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]}}{{3 - 4}} + \dfrac{{\sqrt {4.3} }}{2} + \sqrt 3 \] \[ = - 2\sqrt 3 - 4 + \sqrt 3 + \sqrt 3 = - 4\]
b] Một chiếc thang dài \[3,5m\]. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc an toàn là \[75^\circ \] [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất].
Xét hình vẽ:
Do:
- Tường nhà tạo với phương ngang của mặt đất góc \[90^\circ \];
- Góc an toàn mà thang tạo với mặt đất là \[75^\circ \].
Nên: ta xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\]; độ dài cạnh \[AB\] bằng chiều dài của thang tức \[AB = 3,5m\]; cạnh \[AC\] là khoảng cách cần tính.
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\]:
\[\begin{array}{l}AC = AB.\cos A\,\,\,\left[ {dl} \right]\\ = 3,5.\cos 75^\circ \approx 0,9\,\,\left[ m \right]\end{array}\]
Bài 2 [VD]:
Phương pháp:
a] Đưa về dạng \[A\left[ x \right]B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left[ x \right] = 0\\B\left[ x \right] = 0\end{array} \right.\]
b] Qui đồng mẫu, cộng trừ các phân thức rồi rút gọn
c] Tính \[P.\] Xét hiệu \[P - 1\] rồi so sánh hiệu đó với \[0.\]
Cách giải:
Cho hai biểu thức
\[A = \dfrac{{x + 5\sqrt x }}{{x - 25}}\,\,;\,\,\,\,\,\,B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{x + 9\sqrt x }}{{x - 9}}\] , với \[x \ge 0\] và \[x \ne 9\] và \[x \ne 25\].
a] Tìm \[x\] để biểu thức \[A\] nhận giá trị bằng \[0\].
\[\begin{array}{l}A = 0 \Leftrightarrow x + 5\sqrt x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left[ {\sqrt x + 5} \right] = 0,\,\,\,do\,\,\sqrt x + 5 > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
b] Rút gọn biểu thức \[B\].
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{x + 9\sqrt x }}{{x - 9}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left[ {\sqrt x + 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} - \dfrac{{x + 9\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{2x + 6\sqrt x - x - 9\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} \\= \dfrac{{x - 3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\]
c] Đặt \[P = B:A\]. So sánh \[P\] với \[1\].
\[\begin{array}{l}\,P = B:A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}:\dfrac{{x + 5\sqrt x }}{{x - 25}}\\P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} \\= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}.\dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\\P = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\]
Xét hiệu
\[P - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} - 1 = \dfrac{{ - 8}}{{\sqrt x + 3}}\]
Vì \[ - 8 < 0\] và \[\sqrt x + 3 > 0\] với mọi \[x \ge 0;x \ne \left\{ {9;25} \right\}\] nên \[P - 1 = \dfrac{{ - 8}}{{\sqrt x + 3}} < 0 \Leftrightarrow P < 1\]
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
a] Tìm tọa độ 2 điểm thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng qua hai điểm đó
b] Thay tọa độ điểm A vào hàm số để tìm m
c] Tìm giao điểm của \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_2}} \right].\] Thay tọa độ giao điểm tìm được vào phương trình đường thẳng \[\left[ d \right].\]
Cách giải:
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[\left[ d \right]:\,\,y = \left[ {m - 1} \right]x - m\] [với \[m\]là tham số].
a] Vẽ đường thẳng \[\left[ d \right]\] khi \[m = 3\]
Khi \[m = 3\], phương trình đường thẳng \[\left[ d \right]:\,\,y = 2x - 3\]
\[\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow \left[ {0; - 3} \right] \in \left[ d \right]\\y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \left[ {\dfrac{3}{2};0} \right] \in \left[ d \right]\end{array}\]
Đồ thị :
b] Tìm \[m\] để \[\left[ d \right]\] đi qua điểm \[A\left[ { - 1; - 3} \right]\]
Đường thẳng \[\left[ d \right]\] đi qua điểm \[A\left[ { - 1; - 3} \right]\]
\[ \Leftrightarrow x = - 1;y = - 3\] thỏa mãn phương trình của \[\left[ d \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 = \left[ {m - 1} \right].\left[ { - 1} \right] - m\\ \Leftrightarrow m = 2\end{array}\]
Vậy với \[m = 2\] thì đường thẳng \[\left[ d \right]\] đi qua điểm \[A\left[ { - 1; - 3} \right]\].
c] Tìm \[m\] để \[\left[ d \right]\] cùng với hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:\,\,y = x - \dfrac{2}{3}\] và \[\left[ {{d_2}} \right]:\,\,y = - x + 1\] đồng quy.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[{d_1}\] và \[{d_2}\]:
\[x - \dfrac{2}{3} = - x + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}\] \[ \Rightarrow y = \dfrac{1}{6}\]
\[ \Rightarrow M\left[ {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{6}} \right]\] là giao điểm của \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Để \[{d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\] đồng quy \[ \Leftrightarrow M\left[ {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{6}} \right] \in d\]
\[ \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6};y = \dfrac{1}{6}\] thỏa mãn phương trình của \[\left[ d \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} = \left[ {m - 1} \right].\dfrac{5}{6} - m\\ \Leftrightarrow m = - 6\end{array}\]
Vậy với \[m = 2\] thì ba đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\] đồng quy.
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
b] Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau để có \[OC \bot CD.\]
c] Sử dụng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nhận cạnh huyền làm đường kính
d] Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và quan hệ từ vuông góc đến song song
Cách giải:
a] Chứng minh rằng: \[DH.DO = D{B^2}\]
Vì \[BD\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right]\] nên \[\Delta OBD\] vuông tại \[B\];
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[OH\] là 1 phân đường kính và \[BC\] là dây cung có \[H\] là trung điểm nên \[BH \bot OD\]
Xét \[\Delta OBD\]: \[\widehat {OBD} = 90^\circ ;\,\,BH \bot OD\]\[ \Rightarrow DH.DO = B{D^2}\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
b] Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right]\]
Ta có \[\Delta COB\] cân tại \[O\] [vì \[OC = OB\]] có \[OH\] là trung tuyến \[ \Rightarrow OH\] là phân giác [t/c]
\[ \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {BOD}\]
Xét tam giác \[COD\] và tam giác \[BOD\] có:
+] \[OC = OB\] [= bán kính]
+] \[\widehat {COD} = \widehat {BOD}\,\left[ {cmt} \right]\]
+] Cạnh \[OD\] chung
Nên \[\Delta COD = \Delta BOD\,\left[ {c.g.c} \right]\]\[ \Rightarrow \widehat {OCD} = \widehat {OBD} = 90^\circ \]\[ \Rightarrow OC \bot CD\]
Suy ra \[CD\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\].
c] Đường thẳng \[AD\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại \[E\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[AE\]. Chứng minh bốn điểm \[D,B,M,C\] cùng thuộc một đường tròn.
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[M\] là trung điểm \[AE\], \[OM\] là đường kính, \[AE\] là dây không đi qua \[O\]
\[OM \bot AE\,\,\left[ {dl} \right]\]
Từ đó ta có \[\widehat {OCD} = \widehat {OBD} = \widehat {OMD} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow D,B,M,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OD\]
d] Gọi \[I\] là trung điểm \[DH,BI\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\] tại \[F.\] Chứng minh ba điểm \[A,H,F\] thẳng hàng.
Lấy \[N\] là trung điểm của \[HB\]\[ \Rightarrow IN\] là đường trung bình của \[\Delta DHB\]
Suy ra \[NI//DB\] mà \[DB \bot AB \Rightarrow IN \bot AB\]
Xét tam giác \[IOB\] có hai đường cao \[IN\] và \[BH\] giao nhau tại \[N\]\[ \Rightarrow N\] là trực tâm \[\Delta IOB\]
\[ \Rightarrow ON \bot BI\]
Lại có \[ON\] là đường trung bình của \[\Delta AHB\] nên \[ON//AH\]
Mà \[ON \bot BI\] \[ \Rightarrow AH \bot BI\] [1]
Xét \[\left[ O \right]\] có \[AB\] là đường kính và \[F \in \left[ O \right]\] nên \[AF \bot BF\] hay \[AF \bot BI\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow A,H,F\] thẳng hàng.
Bài 5 [VDC]:
Phương pháp:
Bình phương hai vế rồi phân tích vế trái thành nhân tử đưa về dạng \[A\left[ x \right].B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left[ x \right] = 0\\B\left[ x \right] = 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
ĐK : \[x \ge - 2\].
Bình phương 2 vế không âm ta được:
\[\begin{array}{l}\sqrt 2 \left[ {{x^2} + 8} \right] = 5\sqrt {{x^3} + 8} \\ \Leftrightarrow 2{\left[ {{x^2} + 8} \right]^2} = 25.\left[ {{x^3} + 8} \right]\\ \Leftrightarrow 2{x^4} - 25{x^3} + 32{x^2} - 72 = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^4} - 20{x^3} - 24{x^2} - 5{x^3} + 50{x^2} \]\[+ 60x + 6{x^2} - 60x - 72 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2}\left[ {{x^2} - 10x - 12} \right] - 5x\left[ {{x^2} - 10x - 12} \right] \]\[+ 6\left[ {{x^2} - 10x - 12} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {2{x^2} - 5x + 6} \right]\left[ {{x^2} - 10x - 12} \right] = 0\]
Do \[2{x^2} - 5x + 6 = 2{\left[ {x - \dfrac{5}{4}} \right]^2} + \dfrac{{23}}{8} > 0\]
Nên \[{x^2} - 10x - 12 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {x - 5} \right]^2} = 37 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = \sqrt {37} \\x - 5 = - \sqrt {37} \end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {x_2} = 5 + \sqrt {37} \,\,;\,\,\,\,\,{x_2} = 5 - \sqrt {37} \] [thỏa mãn]
Vậy \[x = 5 \pm \sqrt {37} .\]
HẾT